как представить многочлен в стандартном виде

Чтобы представить многочлен в стандартном виде, важно следовать нескольким основным шагам, которые обеспечат правильное представление и упорядочение членов многочлена. Давайте разберем это подробно.

1. Что такое многочлен?

Многочлен — это выражение, состоящее из суммы (или разности) членов, каждый из которых является произведением постоянного коэффициента и переменной, возведенной в некоторую степень. Формально многочлен можно записать как:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + dots + a_1 x + a_0$

где:

$an,an−1,…,a1,a0a_n, a_{n-1}, dots, a_1, a_0$ — коэффициенты (могут быть числами или переменными),
$x$ — переменная (или несколько переменных в более сложных случаях),
$n$ — степень многочлена, которая равна наибольшему показателю степени переменной $x$ в выражении.

2. Стандартный вид многочлена

Стандартный вид многочлена — это такой способ записи, при котором:

Все члены упорядочены по степеням переменной $x$ в убывающем порядке (от старшей степени к младшей).
Нет пропусков между степенями переменной (например, если степень 3 есть, а степени 2 и 1 нет, то эти степени не должны пропускаться).
Коэффициенты записаны с соответствующими знаками (положительными или отрицательными).
Множители, равные нулю, не включаются в запись.

3. Как привести многочлен к стандартному виду:

Упорядочите члены по степеням: для каждого члена определите степень переменной и упорядочите их от старшей степени к младшей. Например, для многочлена $3×2−4x+5x33x^2 — 4x + 5x^3$ правильный порядок будет: $5×3+3×2−4x5x^3 + 3x^2 — 4x$ .
Проверьте, чтобы не было пропусков: если для какой-то степени переменной нет члена, то в записи эта степень не показывается. Например, для многочлена $x^5 + x^3 + x + 1$ нет термина с $x^4$ , и мы просто пропускаем этот член.
Приведите подобные члены: если в многочлене встречаются однотипные члены (с одинаковой степенью переменной), их нужно объединить. Например, для многочлена $2×2+3x−x2+52x^2 + 3x — x^2 + 5$ нужно объединить $2x^2$ и $x^2$ , получив: $(2×2−x2)+3x+5(2x^2 — x^2) + 3x + 5$ , что даст результат $x^2 + 3x + 5$ .
Учтите знаки: каждый коэффициент должен быть правильно записан с его знаком. Например, в многочлене $4×3−3×2+x−74x^3 — 3x^2 + x — 7$ знак минус перед вторым членом уже учтен.

4. Пример приведения многочлена к стандартному виду

Многочлен: $3x^2 — 5 + 7x^2 — 4x$

Шаг 1: Упорядочим члены по степеням переменной $x$ . Для этого сначала определим степень каждого члена:

$3x^2$ и $7x^2$ — степень 2,
$2 x$ и $- 4 x$ — степень 1,
$- 5$ — степень 0.

Теперь записываем члены в убывающем порядке по степени $x$ :

$3×2+7×2+2x−4x−53x^2 + 7x^2 + 2x — 4x — 5$

Шаг 2: Приведем подобные члены:

$3×2+7×2=10x23x^2 + 7x^2 = 10x^2$ ,
$2 x - 4 x = - 2 x$ .

Получаем:

$10×2−2x−510x^2 — 2x — 5$

Это и есть многочлен в стандартном виде.

5. Особенности стандартного вида:

Отсутствие нулевых коэффициентов: если в процессе упорядочивания и приведения подобных членов возникает нулевой коэффициент, то его не пишем. Например, если получится $0x^2$ , то его просто не будет в записи.
Отсутствие множителей, равных нулю: если в многочлене есть множитель, который равен нулю (например, $0x^3$ ), то его также не указываем.

6. Пример с многочленом в более сложном виде

Многочлен: $4×3−x2+5−2×3+3x+7x24x^3 — x^2 + 5 — 2x^3 + 3x + 7x^2$

Шаг 1: Упорядочим члены по степеням:

$4x^3$ и $−2×3-2x^3$ — степень 3,
$x^2$ и $7x^2$ — степень 2,
$3 x$ — степень 1,
$5$ — степень 0.

Запишем в убывающем порядке:

$4×3−2×3−x2+7×2+3x+54x^3 — 2x^3 — x^2 + 7x^2 + 3x + 5$

Шаг 2: Приведем подобные члены:

$4×3−2×3=2x34x^3 — 2x^3 = 2x^3$ ,
$−x2+7×2=6×2-x^2 + 7x^2 = 6x^2$ ,
$3 x$ и $5$ не имеют подобных членов.

Получаем:

$2×3+6×2+3x+52x^3 + 6x^2 + 3x + 5$

Теперь это многочлен в стандартном виде.

Заключение

Чтобы представить многочлен в стандартном виде, нужно упорядочить члены по степеням переменной в убывающем порядке, привести подобные члены и учесть знаки коэффициентов. Важно также помнить, что члены с нулевыми коэффициентами не включаются в запись.