как найти скалярное произведение векторов

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов — это операция, которая принимает два вектора и возвращает скаляр, то есть число. Чтобы понять, как найти скалярное произведение, давай разберем все шаги и формулы, которые могут быть полезны.

1. Определение скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов a и b (обозначим их как $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$) можно записать через их компоненты или через угол между ними. Рассмотрим два случая:

1.1. Формула через компоненты векторов

Если векторы $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3,\dots )$ и $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3,\dots )$ заданы в виде компонент в $n$-мерном пространстве, то их скалярное произведение определяется как:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3+\cdots +a_n{b}_n$$

Где $a_1,a_2,a_3,\dots$ — компоненты вектора $\mathbf{a}$, а $b_1,b_2,b_3,\dots$ — компоненты вектора $\mathbf{b}$. Вектор $\mathbf{a}$ и вектор $\mathbf{b}$ могут быть как двумерными, так и трехмерными или вообще $n$-мерными, но принцип остается одинаковым.

1.2. Формула через угол между векторами

Альтернативный способ вычисления скалярного произведения — это использование угла между двумя векторами. Формула выглядит так:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos (\theta )$$

Здесь:

• $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ — это длины (модули) векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$,

• $\theta$ — угол между векторами.

Эта формула дает нам скалярное произведение через геометрическую интерпретацию, где результат зависит от длины векторов и угла между ними. Если векторы параллельны, то угол между ними $\theta =0^{\circ }$, и $\cos (0^{\circ })=1$, так что скалярное произведение будет равно произведению длин векторов. Если векторы перпендикулярны, угол $\theta =90^{\circ }$, и $\cos (90^{\circ })=0$, поэтому их скалярное произведение равно нулю.

2. Пример вычисления скалярного произведения

Предположим, что у нас есть два вектора:

• $\mathbf{a}=(1,2,3)$,

• $\mathbf{b}=(4,-5,6)$.

2.1. Через компоненты

Применим формулу через компоненты:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(1\times 4)+(2\times -5)+(3\times 6)$$
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=4-10+18=12$$

Таким образом, скалярное произведение этих векторов равно 12.

2.2. Через угол между векторами

Для вычисления через угол нам нужно знать длины векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, а также угол между ними. Длины векторов вычисляются по формуле:

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$
$$|\mathbf{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}$$

Для $\mathbf{a}=(1,2,3)$:

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$$

Для $\mathbf{b}=(4,-5,6)$:

$$|\mathbf{b}|=\sqrt{4^2+(-5{)}^2+6^2}=\sqrt{16+25+36}=\sqrt{77}$$

Теперь для того, чтобы использовать формулу через угол, нам нужен угол $\theta$ между векторами. Если этот угол известен, например, $\theta =45^{\circ }$, то можно подставить его в формулу:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sqrt{14}\times \sqrt{77}\times \cos (45^{\circ })$$

Где $\cos (45^{\circ })=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Но в случае, если угол не известен, проще использовать первый метод — через компоненты.

3. Геометрическое значение скалярного произведения

Скалярное произведение также можно интерпретировать геометрически. Если вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ образуют угол $\theta$, то скалярное произведение $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ можно представить как произведение длин вектора $\mathbf{a}$, длины вектора $\mathbf{b}$ и проекции одного вектора на другой. Проекция $\mathbf{a}$ на $\mathbf{b}$ — это длина $\mathbf{a}$, умноженная на косинус угла между ними.

Это значение помогает в таких областях, как физика (например, при вычислениях работы силы), а также в линейной алгебре, анализе, теории чисел и других.

4. Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение имеет несколько важных свойств:

• Коммутативность: $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$,

• Линейность: $(c\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=c(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$, где $c$ — константа,

• Раскладываемость: $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$,

• Нулевая длина: если $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=0$, то $\mathbf{a}$ — это нулевой вектор.

Заключение

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, можно либо воспользоваться формулой через компоненты, либо через угол между векторами. Оба метода приводят к одинаковому результату, но использование угла чаще применяется, когда нужно подчеркнуть геометрический аспект задачи.