как решать квадратные уравнения 8 класс

Решение квадратных уравнений — важная тема, которая изучается в 8 классе. Квадратное уравнение — это уравнение вида:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

где $a$, $b$, и $c$ — это коэффициенты (числа), а $x$ — переменная, которую нужно найти. Главное условие для квадратного уравнения: коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a\ne 0$), иначе уравнение перестает быть квадратным.

Шаг 1: Определение коэффициентов

Перед тем как решать квадратное уравнение, нужно определить его коэффициенты:

• $a$ — коэффициент при $x^2$,

• $b$ — коэффициент при $x$,

• $c$ — свободный член.

Например, в уравнении $2x^2+4x-6=0$:

• $a=2$,

• $b=4$,

• $c=-6$.

Шаг 2: Метод решения — Формула для нахождения корней

Для решения квадратного уравнения существует универсальная формула, называемая формулой дискриминанта. Она выглядит так:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

где $D$ — это дискриминант квадратного уравнения, который вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

Дискриминант $D$ определяет количество и характер корней квадратного уравнения:

• Если $D>0$, то уравнение имеет два различных действительных корня.

• Если $D=0$, то уравнение имеет один (повторяющийся) действительный корень.

• Если $D<0$, то уравнение не имеет действительных корней, а имеет два комплексных (мнимых) корня.

Шаг 3: Пример решения

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Два различных корня

Уравнение: $x^2-3x-4=0$.

1. Определяем коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.

2. Находим дискриминант:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25$$

3. Так как $D>0$, у нас два различных корня. Подставляем дискриминант в формулу:

$$x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 5}{2}$$

4. Вычисляем два корня:

$$x_1=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$$
$$x_2=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Ответ: $x_1=4$, $x_2=-1$.

Пример 2: Один корень (повторяющийся)

Уравнение: $x^2-4x+4=0$.

1. Определяем коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=4$.

2. Находим дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0$$

3. Так как $D=0$, у нас один корень (повторяющийся):

$$x=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$

Ответ: $x=2$.

Пример 3: Нет действительных корней

Уравнение: $x^2+2x+5=0$.

1. Определяем коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=5$.

2. Находим дискриминант:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16$$

3. Так как $D<0$, у нас нет действительных корней, а есть два комплексных корня. Для нахождения комплексных корней можно использовать следующую формулу:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

где $\sqrt{D}=\sqrt{-16}=4i$ (где $i$ — мнимая единица). Тогда:

$$x=\frac{-2\pm 4i}{2}=\frac{-2}{2}\pm \frac{4i}{2}=-1\pm 2i$$

Ответ: $x_1=-1+2i$, $x_2=-1-2i$.

Шаг 4: Другие методы решения

Кроме использования формулы, есть и другие методы решения квадратных уравнений, например:

• Метод выделения полного квадрата. Этот метод полезен, когда уравнение можно преобразовать в вид $(x+p{)}^2=q$, из которого легко найти корни.

• Метод подбора. В этом методе пробуют подставить возможные значения для $x$, но он применяется редко, особенно на более высоких уровнях математики.

Заключение

Для того чтобы решить квадратное уравнение, важно:

1. Правильно определить коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

2. Вычислить дискриминант $D$.

3. Применить формулу для нахождения корней в зависимости от значения дискриминанта.

С практикой ты сможешь быстрее и увереннее решать квадратные уравнения, а также понимать, как дискриминант влияет на характер корней!