как умножать дроби с разными знаменателями

Умножение дробей — это достаточно простой процесс, но важно понимать несколько ключевых моментов. Когда дроби имеют разные знаменатели, это не влияет на сам процесс умножения, в отличие от сложения или вычитания дробей, где нужно приводить дроби к общему знаменателю.

Давайте разберем, как умножать дроби с разными знаменателями шаг за шагом:

Шаг 1: Понимание структуры дроби

Каждая дробь состоит из двух частей:

Числитель — это верхняя часть дроби, которая показывает, сколько частей из целого имеется.
Знаменатель — это нижняя часть дроби, которая указывает, на сколько равных частей целое делится.

Например, в дроби $23frac{2}{3}$ :

Числитель — 2 (т.е. две части),
Знаменатель — 3 (т.е. целое разделено на три равные части).

Шаг 2: Умножение дробей

Чтобы умножить две дроби, нужно выполнить два простых действия:

Умножить числители между собой.
Умножить знаменатели между собой.

Рассмотрим на примере:

Умножим дроби $23frac{2}{3}$ и $45frac{4}{5}$ :

$23×45=2×43×5=815frac{2}{3} times frac{4}{5} = frac{2 times 4}{3 times 5} = frac{8}{15}$

Шаг 3: Упростить дробь (если нужно)

После умножения дробей может получиться дробь, которую можно упростить. Упрощение дроби — это процесс нахождения наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя и деление и числителя, и знаменателя на этот НОД.

Возьмем пример:

$68×34frac{6}{8} times frac{3}{4}$

Умножаем числители: $6 \times 3 = 18$ ,
Умножаем знаменатели: $8 \times 4 = 32$ ,
Получаем дробь $1832frac{18}{32}$ , которую можно упростить.

Для этого нужно найти НОД числителя и знаменателя. НОД(18, 32) = 2, значит, делим обе части дроби на 2:

$1832=18÷232÷2=916frac{18}{32} = frac{18 div 2}{32 div 2} = frac{9}{16}$

Итак, результат умножения дробей $68frac{6}{8}$ и $34frac{3}{4}$ — это $916frac{9}{16}$ .

Шаг 4: Особенности умножения целых чисел и дробей

Если одна из чисел — целое, его можно представить в виде дроби, добавив единицу в качестве знаменателя. Например, $2$ можно записать как $21frac{2}{1}$ , и дальше применить тот же алгоритм умножения дробей.

Пример:

$2×34=21×34=2×31×4=642 times frac{3}{4} = frac{2}{1} times frac{3}{4} = frac{2 times 3}{1 times 4} = frac{6}{4}$

Теперь можно упростить дробь $64frac{6}{4}$ , разделив обе части на 2:

$64=6÷24÷2=32frac{6}{4} = frac{6 div 2}{4 div 2} = frac{3}{2}$

Шаг 5: Пример с дробями, содержащими отрицательные числа

Если в умножении участвуют отрицательные дроби, то нужно помнить следующее правило:

При умножении двух дробей с одинаковым знаком (две положительные или две отрицательные) результат будет положительным.
При умножении дробей с разными знаками (одна положительная, другая отрицательная) результат будет отрицательным.

Пример:

$−34×25=−3×24×5=−620frac{-3}{4} times frac{2}{5} = frac{-3 times 2}{4 times 5} = frac{-6}{20}$

Упрощаем дробь:

$−620=−6÷220÷2=−310frac{-6}{20} = frac{-6 div 2}{20 div 2} = frac{-3}{10}$

Итак, результат умножения $−34frac{-3}{4}$ и $25frac{2}{5}$ — это $−310frac{-3}{10}$ .

Шаг 6: Дополнительные примеры

$13×57=1×53×7=521frac{1}{3} times frac{5}{7} = frac{1 times 5}{3 times 7} = frac{5}{21}$ .
$25×43=2×45×3=815frac{2}{5} times frac{4}{3} = frac{2 times 4}{5 times 3} = frac{8}{15}$ .

Итог

Чтобы умножить дроби с разными знаменателями:

Умножьте числители между собой.
Умножьте знаменатели между собой.
Если возможно, упростите результат.

Это все, что нужно для умножения дробей! Важно помнить, что дроби с разными знаменателями не требуют приведения к общему знаменателю, как при сложении или вычитании, а процесс остается простым и прямым.