как учитывается в транспортной задаче пропускная способность

Пропускная способность в транспортной задаче — это важный элемент, который влияет на распределение товаров между поставщиками и потребителями с учетом ограничений на количество перевозок, которое может быть осуществлено. В классической транспортной задаче мы рассматриваем несколько ключевых аспектов: потребности в товарах у потребителей, доступные поставки у производителей и стоимость транспортировки. Однако если учитывать пропускную способность, то задача усложняется, и нужно внести дополнительные ограничения.

1. Введение в транспортную задачу

Транспортная задача — это разновидность задачи линейного программирования, где целью является минимизация стоимости транспортировки товаров от поставщиков (источников) к потребителям (пунктам назначения), удовлетворяя потребности и возможности.

Классическое описание задачи:

• $x_{ij}$ — количество товара, которое отправляется от поставщика $i$ к потребителю $j$.

• $c_{ij}$ — стоимость транспортировки одной единицы товара от поставщика $i$ к потребителю $j$.

• $a_i$ — количество товара, доступного для поставки от поставщика $i$.

• $b_j$ — количество товара, которое нужно доставить потребителю $j$.

Цель задачи — минимизировать общую транспортную стоимость:

$$\min \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$

при следующих ограничениях:

$$\sum _{j=1}^n{x}_{ij}=a_i,i=1,\dots ,m$$

(каждый поставщик должен отправить все доступное количество товаров),

$$\sum _{i=1}^m{x}_{ij}=b_j,j=1,\dots ,n$$

(каждый потребитель должен получить требуемое количество товара).

2. Учет пропускной способности

Пропускная способность обычно означает максимальное количество товара, которое можно перевезти через конкретный транспортный маршрут, или максимальное количество товаров, которое могут перевозить транспортные средства между двумя пунктами. В этой задаче необходимо учитывать не только поставки и потребности, но и ограничения на количество товаров, которые могут быть перевезены через каждую транспортную артерию (маршрут).

Включение пропускной способности требует добавления дополнительных ограничений в модель. Рассмотрим ситуацию, когда на каждом маршруте существует ограничение на количество товаров, которое можно перевезти.

2.1. Ограничения по пропускной способности маршрута

Предположим, что для маршрута между поставщиком $i$ и потребителем $j$ пропускная способность равна $u_{ij}$. Тогда ограничение на количество перевозимых товаров между $i$-м поставщиком и $j$-м потребителем будет следующим:

$$x_{ij}\le u_{ij},\forall i,j$$

Это означает, что даже если есть потребность у потребителя или возможность у поставщика, не может быть перевезено больше товаров, чем позволяет пропускная способность маршрута.

2.2. Модификация целевой функции

При добавлении пропускной способности, целевая функция, которая минимизирует стоимость перевозки, остается прежней:

$$\min \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$

Но теперь для каждой пары $(i,j)$ будет добавляться ограничение на $x_{ij}$, и эти ограничения будут зависеть от пропускной способности $u_{ij}$.

2.3. Пример

Предположим, что есть три поставщика (A, B, C) и два потребителя (X, Y). Пропускные способности маршрутов следующие:

• A → X: 50 единиц

• A → Y: 30 единиц

• B → X: 40 единиц

• B → Y: 60 единиц

• C → X: 20 единиц

• C → Y: 50 единиц

Если поставщик A имеет 70 единиц товара, поставщик B — 100 единиц, а поставщик C — 80 единиц, то эти ограничения на пропускную способность будут накладываться на соответствующие переменные $x_{ij}$.

3. Учет пропускной способности с помощью модификации задач линейного программирования

Добавление ограничений на пропускную способность маршрутов делает транспортную задачу более сложной. Такие задачи можно решить с помощью метода линейного программирования или с использованием специализированных методов для транспортных задач с ограничениями (например, метод потенциалов).

3.1. Введение в транспортную задачу с пропускной способностью через матрицы

При добавлении пропускной способности в задачу, ее можно представить в виде матрицы, где:

• В строках указываются поставщики (их запасы).

• В столбцах — потребители (их потребности).

• Элементы матрицы $x_{ij}$ — это переменные, которые указывают количество товара, перевозимого от поставщика $i$ к потребителю $j$.

• Пропускные способности добавляются как ограничения на максимальные значения этих переменных.

3.2. Дополнительные ограничения

Кроме ограничений по пропускной способности для каждого маршрута $(i,j)$, могут возникать и другие ограничения, такие как:

• Ограничения на время перевозки, если нужно учесть время доставки (например, через определенные маршруты, которые могут быть доступны только в определенные часы).

• Стоимость транспортировки может изменяться в зависимости от того, сколько товаров перевозится, что также нужно учесть при решении задачи.

4. Применение к реальным задачам

Задачи с пропускной способностью возникают в реальной жизни при проектировании логистических систем, таких как:

• Оптимизация маршрутов для доставки товаров с ограничениями на пропускную способность дорог или транспортных средств.

• Разработка сетей доставки в условиях ограниченной инфраструктуры (например, дороги с определенными весовыми ограничениями, железнодорожные пути с ограниченной пропускной способностью и т. д.).

5. Заключение

Пропускная способность — это важный фактор, который влияет на решение транспортной задачи. Включение ограничений на пропускную способность позволяет учесть реальные условия транспортировки, что делает модель более точной и приближенной к реальности. Это добавляет сложности в решение задачи, но с использованием методов линейного программирования и оптимизации задачи можно эффективно решать и такие более сложные варианты.