как вынести общий множитель за скобки

Вынесение общего множителя за скобки — это важная техника в алгебре, которая помогает упростить выражения. Давайте разберемся, как это сделать, на примерах и с подробными объяснениями.

1. Основное правило

Если у вас есть выражение вида:

$$a\cdot x+a\cdot y+a\cdot z,$$

где a — это общий множитель, то вы можете вынести этот множитель за скобки:

$$a\cdot (x+y+z).$$

То есть, вынести можно тот множитель, который встречается при каждом слагаемом в выражении.

2. Пошаговый алгоритм вынесения общего множителя

1. Определите общий множитель.
   Сначала внимательно посмотрите на все слагаемые выражения. Нужно найти наименьший общий множитель для всех чисел и переменных, которые есть в этих слагаемых.

2. Вынесите общий множитель за скобки.
   После того как общий множитель найден, его нужно вынести за скобки, а внутри скобок останется выражение, которое получается, если поделить каждое слагаемое на общий множитель.

3. Проверьте результат.
   После того как вынесли множитель за скобки, умножьте его обратно на все слагаемые внутри скобок, чтобы удостовериться, что результат правильный.

3. Примеры

Пример 1: Простые числа

Рассмотрим выражение:

$$6x+9y.$$

Здесь общий множитель для 6 и 9 — это число 3, потому что 6 = 3 × 2, а 9 = 3 × 3.

Вынесем 3 за скобки:

$$3(2x+3y).$$

Теперь, чтобы проверить, что мы сделали всё правильно, умножим 3 на каждое из слагаемых внутри скобок:

$$3\cdot 2x+3\cdot 3y=6x+9y.$$

Ответ совпал с исходным выражением, значит, мы всё правильно сделали.

Пример 2: Вынесение общего множителя, который включает переменную

Теперь возьмем выражение:

$$4xy+8xz.$$

Общий множитель для 4xy и 8xz — это $4x$, потому что 4xy = 4x ⋅ y, а 8xz = 4x ⋅ 2z.

Вынесем $4x$ за скобки:

$$4x(y+2z).$$

Проверим:

$$4x\cdot y+4x\cdot 2z=4xy+8xz.$$

Ответ совпал.

Пример 3: Вынесение общего множителя с разными степенями переменных

Рассмотрим выражение:

$$3x^{2}y+6x{y}^2.$$

Здесь общий множитель — это $3xy$, потому что 3x²y = 3xy ⋅ x и 6xy² = 3xy ⋅ 2y.

Вынесем $3xy$ за скобки:

$$3xy(x+2y).$$

Проверим:

$$3xy\cdot x+3xy\cdot 2y=3x^{2}y+6x{y}^2.$$

Ответ совпал.

4. Важные замечания

• Определение общего множителя: Общий множитель — это наибольший общий делитель всех коэффициентов и переменных в слагаемых. Для чисел это наибольший общий делитель (НОД), а для переменных — минимальная степень каждой переменной, которая присутствует в каждом слагаемом.

• Если множитель равен 1: Если общий множитель равен 1, то вынести его за скобки не имеет смысла, так как это не изменит выражение.

• Если нет общего множителя: Если в слагаемых нет общего множителя, то не нужно пытаться его вынести. Например, в выражении $2x+3y$ нет общего множителя, кроме 1, поэтому оно останется без изменений.

5. Пример с несколькими слагаемыми и разными коэффициентами

Посмотрим на более сложный пример:

$$12a^{2}b+18a{b}^2+24ab.$$

Первый шаг — найти наибольший общий множитель. Для коэффициентов 12, 18 и 24 наибольший общий делитель — это 6. Кроме того, общим множителем для всех слагаемых является $ab$, так как в каждом из слагаемых присутствуют и $a$, и $b$.

Итак, общий множитель — это $6ab$.

Теперь вынесем его за скобки:

$$6ab(2a+3b+4).$$

Проверим:

$$6ab\cdot 2a+6ab\cdot 3b+6ab\cdot 4=12a^{2}b+18a{b}^2+24ab.$$

Ответ совпал.

Заключение

Вынесение общего множителя за скобки — это метод упрощения алгебраических выражений, который позволяет выделить общие части выражения и тем самым сделать его более компактным и удобным для дальнейших операций. Чтобы эффективно применять этот метод, важно научиться правильно находить общий множитель, а также проверять полученный результат.