Для того чтобы найти высоту треугольника, зная координаты его вершин, нужно использовать несколько геометрических принципов. В этом процессе ключевую роль играет формула площади треугольника и взаимосвязь между высотой и основанием.
Исходные данные
Пусть у нас есть треугольник с вершинами в точках A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2), и C(x3,y3)C(x_3, y_3). Чтобы найти высоту, нам нужно выбрать одну из сторон треугольника как основание и затем вычислить соответствующую высоту, перпендикулярную этой стороне.
Шаги для нахождения высоты треугольника
Вычисление площади треугольника
Площадь треугольника можно вычислить по формуле, используя координаты его вершин:S=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣S = frac{1}{2} left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) right|
Это стандартная формула площади треугольника через координаты его вершин. Она дает площадь, независимо от выбора ориентированности вершин (внешнее или внутреннее направление).
Выбор основания
Для упрощения давайте выберем сторону BCBC как основание. Длина этой стороны рассчитывается по формуле расстояния между двумя точками в 2D:длина основания=BC=(x2−x3)2+(y2−y3)2text{длина основания} = BC = sqrt{(x_2 — x_3)^2 + (y_2 — y_3)^2}
Вычисление высоты
Площадь треугольника можно также выразить через основание и высоту:S=12⋅длина основания⋅hS = frac{1}{2} cdot text{длина основания} cdot h
где hh — это высота, опущенная на основание BCBC. Подставив значение площади из первого шага, получаем:
12⋅BC⋅h=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣frac{1}{2} cdot BC cdot h = frac{1}{2} left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) right|
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от деления:
BC⋅h=∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣BC cdot h = left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) right|
Теперь выразим высоту hh:
h=∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣BCh = frac{left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) right|}{BC}
Итоговая формула для высоты
Для высоты, опущенной на сторону BCBC, получается следующая формула:
h=∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣(x2−x3)2+(y2−y3)2h = frac{left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) right|}{sqrt{(x_2 — x_3)^2 + (y_2 — y_3)^2}}
Пример
Допустим, у нас есть треугольник с вершинами:
A(1,2)A(1, 2)
B(4,6)B(4, 6)
C(7,2)C(7, 2)
Сначала вычислим площадь треугольника:
S=12∣1(6−2)+4(2−2)+7(2−6)∣=12∣1(4)+4(0)+7(−4)∣=12∣4+0−28∣=12×24=12S = frac{1}{2} left| 1(6 — 2) + 4(2 — 2) + 7(2 — 6) right| = frac{1}{2} left| 1(4) + 4(0) + 7(-4) right| = frac{1}{2} left| 4 + 0 — 28 right| = frac{1}{2} times 24 = 12
Теперь находим длину основания BCBC:
BC=(4−7)2+(6−2)2=9+16=25=5BC = sqrt{(4 — 7)^2 + (6 — 2)^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5
Подставляем в формулу для высоты:
h=2×125=245=4.8h = frac{2 times 12}{5} = frac{24}{5} = 4.8
Таким образом, высота треугольника на сторону BCBC равна 4.8.
Выводы
Для нахождения высоты треугольника, зная координаты его вершин, сначала вычисляется площадь треугольника по координатам.
Затем выбирается одна из сторон как основание, и вычисляется ее длина.
Высота находится с помощью формулы связи площади, основания и высоты треугольника.
Если нужно вычислить высоту, опущенную на другую сторону (например, на сторону ABAB или ACAC), процесс будет аналогичным: нужно будет вычислить длину соответствующего основания и повторить шаги.
