В геометрии пропорциональность — это отношение, при котором два или более отрезка, фигуры, или другие геометрические элементы соотносятся между собой по одинаковому коэффициенту. Иначе говоря, пропорциональные элементы изменяются или сравниваются по одной и той же шкале.
📌 1. Определение пропорциональности
Пропорциональность в общем случае означает, что отношения между величинами равны.
Например:
Если
ab=cdfrac{a}{b} = frac{c}{d}
то говорят, что величины aa и cc пропорциональны величинам bb и dd.
🧱 2. Примеры пропорциональности в геометрии
🔹 2.1 Пропорциональные отрезки
Два отрезка ABAB и CDCD пропорциональны отрезкам EFEF и GHGH, если:
ABCD=EFGHfrac{AB}{CD} = frac{EF}{GH}
Это значит, что длина одного отрезка по отношению к другому сохраняет одинаковое соотношение, как и у другой пары отрезков.
🔹 2.2 Пропорциональные стороны треугольников (подобие треугольников)
Подобные треугольники — это треугольники, у которых:
Соответствующие углы равны
Соответствующие стороны пропорциональны
Пример:
Если треугольники ABCABC и A′B′C′A’B’C’ подобны, то:
ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′frac{AB}{A’B’} = frac{BC}{B’C’} = frac{AC}{A’C’}
🔹 2.3 Пропорциональность в трапеции (теорема Фалеса)
Если через две стороны угла провести параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, то отрезки, на которые они делят стороны угла, будут пропорциональны.
Пример:
Если DE∥BCDE parallel BC в треугольнике ABCABC, то:
ADDB=AEECfrac{AD}{DB} = frac{AE}{EC}
🔹 2.4 Пропорциональность в прямоугольниках, ромбах, квадратах
Во всех правильных геометрических фигурах (например, в квадратах и правильных многоугольниках), стороны между собой пропорциональны, потому что они равны по длине.
📐 3. Свойства пропорциональности
Если:
ab=cdfrac{a}{b} = frac{c}{d}
то верны следующие свойства:
Основное свойство пропорции:
a⋅d=b⋅ca cdot d = b cdot c
Перестановка членов:
ab=cd⇒ba=dcfrac{a}{b} = frac{c}{d} Rightarrow frac{b}{a} = frac{d}{c}
Сумма/разность пропорциональных членов:
ab=cd⇒a±cb±d=abfrac{a}{b} = frac{c}{d} Rightarrow frac{a pm c}{b pm d} = frac{a}{b}
📊 4. Где применяется пропорциональность в геометрии
| Область | Пример применения |
|---|---|
| Подобие фигур | Соотношение сторон и масштаб |
| Площади и объемы | При увеличении фигур — площади растут как квадрат коэффициента пропорциональности, объёмы — как куб |
| Теорема Фалеса | Разбиение сторон угла пропорциональными отрезками |
| Теорема Менелая, Чевы | В теоремах о пересечениях прямых и точек в треугольнике |
| Геометрические построения | Деление отрезка в данном отношении |
📎 Простой повседневный пример:
Если две дороги A и B обозначают расстояния между городами, и известно, что:
Расстояние от A до B = 100 км
На карте оно обозначено как 10 см
То любой другой участок на карте будет пропорционален в масштабе 1:10 км, то есть 1 см на карте = 10 км в реальности. Это и есть пропорциональность длин.
📘 Заключение
В геометрии пропорциональность — это фундаментальное понятие, лежащее в основе множества теорем, понятий и задач. Оно позволяет:
Сравнивать фигуры
Строить масштабные модели
Проводить доказательства свойств фигур
Понимать и использовать подобие и симметрию
Пропорции — это язык отношений в геометрии, связывающий размеры, формы и соотношения между объектами.
