как разложить многочлен на множители 7 класс

Конечно! Разложение многочлена на множители — очень важная тема в алгебре, особенно в 7 классе. Постараюсь объяснить подробно и понятно.

Что такое разложение многочлена на множители?

Многочлен — это выражение, состоящее из суммы (или разности) одночленов, например:
$3×2+6x3x^2 + 6x$ , $x^2 — 9$ , $2×3−82x^3 — 8$ и т.д.

Разложить на множители означает представить многочлен в виде произведения нескольких выражений (множителей). Например:
$3×2+6x=3x(x+2)3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$ .

Зачем это нужно?

Чтобы упростить выражение.
Чтобы решить уравнения.
Чтобы найти корни многочлена.
Чтобы лучше понять структуру выражения.

Способы разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

Самый простой и часто используемый способ.

Что такое общий множитель?
Это число или переменная, которые есть у всех слагаемых многочлена.

Пример:
$6×3+9x26x^3 + 9x^2$

Найдём общий множитель:
Числа — 6 и 9, их общий делитель — 3
Переменные — у обоих есть $x^2$ (в первом $x^3$ , во втором $x^2$ , поэтому берём меньшую степень — $x^2$ )
Вынесем за скобки $3x^2$ :
$6×3+9×2=3×2(2x+3)6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$

2. Разложение с помощью формул сокращённого умножения

Есть несколько формул, которые часто встречаются:

Разность квадратов:
$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$
Пример: $x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$
Квадрат суммы:
$a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Обратное: если многочлен похож на $a^2 + 2ab + b^2$ , то он равен $a + b)^2$ .
Квадрат разности:
$a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$
Сумма кубов:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)$
Разность кубов:
$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$

3. Группировка

Используется, когда многочлен состоит из нескольких слагаемых и не поддаётся простым методам.

Пример:
$x3+3×2+2x+6x^3 + 3x^2 + 2x + 6$

Разделим многочлен на две группы:
$(x3+3×2)+(2x+6)(x^3 + 3x^2) + (2x + 6)$
В каждой группе вынесем общий множитель:
$x^2(x + 3) + 2(x + 3)$
Теперь видим общий множитель $(x + 3)$ :
$x + 3)(x^2 + 2)$

4. Разложение квадратного трёхчлена (если есть)

Многочлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители, если найти такие числа $m$ и $n$ , что:

$m \cdot n = a \cdot c$
$m + n = b$

Потом заменяем средний член и группируем.

Пример:
$2×2+7x+32x^2 + 7x + 3$

$a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$
Нужно найти два числа, которые дают произведение 6 и сумму 7 → это 6 и 1
Разложим:
$2×2+6x+x+32x^2 + 6x + x + 3$
Группируем:
$(2×2+6x)+(x+3)(2x^2 + 6x) + (x + 3)$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$2 x (x + 3) + 1 (x + 3)$
Вынесем общий множитель $(x + 3)$ :
$(x + 3) (2 x + 1)$

Общий алгоритм разложения

Посмотреть, есть ли общий множитель у всех слагаемых — вынести его.
Проверить, можно ли применить формулы сокращённого умножения.
Если многочлен сложный, попробовать группировку.
Если это квадратный трёхчлен, использовать метод подбора двух чисел.
Если ничего не подходит, значит многочлен нельзя разложить на множители в простом виде.

Примеры с разбором

Пример 1

$4×3−8×2+12x4x^3 — 8x^2 + 12x$

Общий множитель: $4 x$
Вынесем:
$4x(x^2 — 2x + 3)$
Проверяем скобки — разложить дальше нельзя (нет подходящих формул или группировок).

Пример 2

$x^2 — 16$

Это разность квадратов:
$x^2 — 4^2 = (x — 4)(x + 4)$

Пример 3

$x^2 + 5x + 6$

Найдём два числа, которые дают 6 и сумму 5: 2 и 3
Разложим:
$(x + 2) (x + 3)$

Если хочешь, могу помочь разобрать твои конкретные примеры!

Если нужно, могу сделать шпаргалку с формулами или задачами для практики. Как считаешь?