какие из следующих утверждений верны длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин

Для того чтобы разобраться, верно ли утверждение, давай внимательно проанализируем его.

У нас есть прямоугольный треугольник. Пусть его стороны будут обозначены как $a$, $b$ и гипотенуза $c$, где $c$ — это наибольшая из сторон, противоположная прямому углу. Тогда мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что:

$$a^2+b^2=c^2$$

Теорема Пифагора — это основное свойство прямоугольного треугольника. Она позволяет нам найти длину гипотенузы $c$, если известны длины катетов $a$ и $b$.

Теперь, давай разберемся с утверждением: «длина гипотенузы меньше суммы длин катетов».

Нам нужно проверить, верно ли неравенство:

$$c<a+b$$

Шаг 1: Анализируем ситуацию в контексте треугольника

Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Это неравенство также действует и для прямоугольного треугольника. В нашем случае:

$$a+b>c$$

Это означает, что длина гипотенузы действительно меньше суммы длин катетов. Это всегда верно для прямоугольных треугольников и вообще для всех треугольников.

Шаг 2: Почему это верно?

Когда мы говорим о прямоугольном треугольнике, гипотенуза $c$ — это самая длинная сторона, но она не может быть больше, чем сумма катетов $a+b$. Иначе треугольник не мог бы существовать, так как в таком случае одна из сторон была бы слишком длинной для формирования треугольника. В геометрии это называется неравенством треугольника.

Шаг 3: Пояснение через примеры

Для наглядности рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть $a=3$, $b=4$. Тогда гипотенуза $c$ будет равна:

   $$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

   Сумма катетов:

   $$a+b=3+4=7$$

   В этом случае гипотенуза $c=5$, и $5<7$, что подтверждает утверждение.

2. Пусть $a=5$, $b=12$. Тогда гипотенуза $c$ будет:

   $$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$

   Сумма катетов:

   $$a+b=5+12=17$$

   Опять же, $c=13$, и $13<17$, что снова подтверждает верность утверждения.

Шаг 4: Теоретическое обоснование

Неравенство $c<a+b$ является следствием неравенства треугольника и теоремы Пифагора. Теорема Пифагора гарантирует, что $c$ всегда будет меньше суммы $a+b$, потому что гипотенуза — это результат вычисления по формуле $\sqrt{a^2+b^2}$, и эта величина всегда меньше суммы $a+b$, если только треугольник не является вырожденным (например, когда $a=0$ или $b=0$, то есть когда треугольник превращается в прямую линию).

Заключение

Да, утверждение «длина гипотенузы меньше суммы длин катетов» в случае прямоугольного треугольника всегда верно. Это следует как из геометрической интуиции (неравенство треугольника), так и из теоремы Пифагора.