сколько будет бесконечность плюс бесконечность

Это интересный вопрос, который затрагивает основы математической теории, в частности, понятий о бесконечности. Для того чтобы правильно ответить, важно понять, что такое бесконечность в математике и как с ней работает математика.

1. Бесконечность как концепт

Бесконечность (обозначаемая как $\infty$) в математике не является обычным числом. Это скорее концепция, которая описывает неограниченно большое количество или величину. Бесконечность не поддается обычным арифметическим операциям, как числа. В строгой математике бесконечность — это скорее предел, а не конкретная величина.

2. Математическая бесконечность и операции с ней

Когда мы говорим о бесконечности, например, $\infty +\infty$, это выражение имеет смысл, если воспринимать бесконечность как символ, а не как число в привычном смысле.

Бесконечность в рамках теории множеств:

Если рассматривать бесконечность как кардинальное число (например, мощность множества), то $\infty +\infty$ все равно будет равняться $\infty$. Например, мощность множества всех натуральных чисел (множество, которое является бесконечным) обозначается как ${\aleph }_0$ (алеф-нуль), и если мы объединяем два таких множества, результатом все равно будет бесконечность, а не какое-то новое, «большее» число. То есть:

$$\infty +\infty =\infty .$$

Бесконечность в контексте пределов:

В математике бесконечность часто используется в контексте предела. Например, если $f(x)\to \infty$ при $x\to \infty$, это означает, что функция стремится к бесконечности. Если мы рассматриваем пределы функций, то если две функции стремятся к бесконечности, то сумма их пределов также будет стремиться к бесконечности. То есть:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)+\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=\infty +\infty =\infty .$$

Однако важно помнить, что это не обычная операция сложения, как для чисел. Это именно пределы, которые математически трактуются как стремление к бесконечно большому значению.

3. Операции с бесконечностью в расширенной арифметике

В некоторых системах, таких как расширенная действительная арифметика (extended real number system), мы можем вести операции с бесконечностью. В этой системе принято соглашение, что:

$$\infty +\infty =\infty .$$

Это позволяет математически работать с пределами и бесконечными величинами в более удобном виде. Однако стоит заметить, что в традиционной арифметике бесконечность не является числом и не может быть использована как обычное число для выполнения арифметических операций.

4. Другие аспекты бесконечности:

• Бесконечность и интуитивное восприятие: Когда мы говорим, что бесконечность плюс бесконечность — это бесконечность, на интуитивном уровне можно подумать, что если у вас есть «бесконечно много» чего-то, и вы добавляете «бесконечно много» чего-то другого, то получается, что у вас все равно есть просто бесконечно много, то есть бесконечность.

• В разных контекстах: В некоторых областях математики, например, в теории графов или теории чисел, бесконечности могут трактоваться по-разному в зависимости от контекста. Например, в теории чисел, операции с бесконечными множествами чисел могут приводить к различным результатам в зависимости от того, какие множества объединяются.

Итог:

В традиционной математике ответ на ваш вопрос таков:

$$\infty +\infty =\infty .$$

Это просто выражение того, что сумма двух бесконечных величин все равно остается бесконечностью, потому что бесконечность не имеет фиксированного размера или числа, с которым можно работать в привычном смысле.