как из точки принадлежащей плоскости восстановить перпендикуляр

Вопрос восстановления перпендикуляра из точки, принадлежащей плоскости, может быть интерпретирован разными способами, в зависимости от того, что мы понимаем под «восстановлением перпендикуляра». Однако, наиболее стандартное и универсальное объяснение связано с тем, как провести перпендикуляр из произвольной точки, лежащей в плоскости, к какой-то прямой или другой плоскости. Давайте рассмотрим оба случая:

1. Проведение перпендикуляра из точки до прямой, принадлежащей плоскости.

Предположим, что у нас есть точка $P(x_1,y_1,z_1)$, которая лежит на плоскости $\pi$, заданной уравнением

$$Ax+By+Cz+D=0.$$

Наша цель — провести перпендикуляр из точки $P$ на прямую, принадлежащую этой плоскости.

1. Вектор нормали к плоскости.
   Плоскость $\pi$ имеет нормальный вектор $n=(A,B,C)$, который перпендикулярен всей плоскости.

2. Нахождение прямой, перпендикулярной плоскости.
   Перпендикуляр из точки $P(x_1,y_1,z_1)$ будет направлен вдоль вектора нормали $n=(A,B,C)$ и будет пересекать плоскость в какой-то точке $Q(x_2,y_2,z_2)$.

3. Уравнение прямой.
   Прямая, проходящая через точку $P(x_1,y_1,z_1)$ и направленная вдоль вектора нормали $n$, будет иметь параметрическое уравнение:

   $$\{\begin{array}{l}x(t)=x_1+tA,\\ y(t)=y_1+tB,\\ z(t)=z_1+tC,\end{array}$$

   где $t$ — параметр, определяющий положение точек на прямой.

4. Нахождение точки пересечения прямой с плоскостью.
   Чтобы найти точку $Q(x_2,y_2,z_2)$, нужно подставить координаты этой прямой в уравнение плоскости:

   $$A(x_1+tA)+B(y_1+tB)+C(z_1+tC)+D=0.$$

   Это уравнение можно решить относительно $t$:

   $$A(x_1)+B(y_1)+C(z_1)+t(A^2+B^2+C^2)+D=0,$$

   или

   $$t=\frac{-(A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D)}{A^2+B^2+C^2}.$$

5. Нахождение координат точки пересечения.
   После того как мы нашли $t$, можно подставить его обратно в параметрическое уравнение прямой, чтобы получить координаты точки $Q(x_2,y_2,z_2)$.

Таким образом, точка $Q(x_2,y_2,z_2)$ является точкой пересечения прямой, перпендикулярной плоскости, с самой плоскостью.

2. Проведение перпендикуляра из точки к плоскости.

Теперь рассмотрим случай, когда точка $P(x_1,y_1,z_1)$ лежит в пространстве, и нам нужно провести перпендикуляр из этой точки к плоскости $\pi$, заданной уравнением:

$$Ax+By+Cz+D=0.$$

Алгоритм решения будет аналогичен предыдущему, но мы не ограничены прямой, а просто ищем точку пересечения перпендикуляра с плоскостью.

1. Нормальный вектор плоскости.
   Вектор нормали $n=(A,B,C)$ к плоскости будет направлением перпендикуляра.

2. Параметрическое уравнение перпендикуляра.
   Прямая, проходящая через точку $P(x_1,y_1,z_1)$ и направленная вдоль вектора нормали $n=(A,B,C)$, будет иметь параметрическое уравнение:

   $$\{\begin{array}{l}x(t)=x_1+tA,\\ y(t)=y_1+tB,\\ z(t)=z_1+tC.\end{array}$$

   Эта прямая будет пересекаться с плоскостью в точке $Q(x_2,y_2,z_2)$.

3. Нахождение точки пересечения.
   Подставим координаты прямой в уравнение плоскости:

   $$A(x_1+tA)+B(y_1+tB)+C(z_1+tC)+D=0.$$

   Получим уравнение для $t$:

   $$A(x_1)+B(y_1)+C(z_1)+t(A^2+B^2+C^2)+D=0.$$

   Решим относительно $t$:

   $$t=\frac{-(A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D)}{A^2+B^2+C^2}.$$

4. Подставляем значение $t$.
   Подставляем значение $t$ в параметрическое уравнение прямой и получаем координаты точки $Q(x_2,y_2,z_2)$, которая будет точкой, на которой перпендикуляр пересекает плоскость.

Итог

Перпендикуляр из точки $P(x_1,y_1,z_1)$, лежащей в плоскости $\pi$, можно провести, найдя точку пересечения прямой, проходящей через $P$ и направленной вдоль вектора нормали к плоскости. Вектор нормали определяется коэффициентами уравнения плоскости $Ax+By+Cz+D=0$. Решив систему уравнений, можно найти точку пересечения, которая будет искомой точкой на перпендикуляре.

Если нужно конкретное решение с числами, могу помочь с расчетами.