как связаны между собой амплитуда и действующее значение гармонической функции

Амплитуда и действующее значение (или среднеквадратичное значение) гармонической функции тесно связаны между собой, но они отражают разные характеристики этой функции. Давайте разберёмся подробно, начиная с определений, затем математически, а потом и на уровне физического смысла.

🔹 1. Определения

Гармоническая функция — это функция, описывающая колебания, например:

$$x(t)=A\cdot \sin (\omega t+\phi )$$

где:

• $A$ — амплитуда (максимальное отклонение от среднего значения),

• $\omega$ — угловая частота,

• $\phi$ — начальная фаза,

• $t$ — время.

Амплитуда $A$ — это наибольшее значение модуля функции. В синусоиде — просто максимальное значение, которого достигает функция. Она показывает, насколько далеко колебание отклоняется от среднего положения.

Действующее (или среднеквадратичное) значение гармонической функции — это величина, численно равная постоянному значению, при котором функция (например, ток или напряжение) производила бы такое же количество работы (или тепла) за период, как и переменное значение.

Обозначается:

$$x_{\text{д}}=x_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T[x(t){]}^{2}dt}$$

🔹 2. Связь амплитуды и действующего значения

Для гармонической функции:

$$x(t)=A\cdot \sin (\omega t+\phi )$$

Среднеквадратичное значение:

$$x_{\text{д}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{A}^2\cdot {\sin }^2(\omega t+\phi )dt}$$

Поскольку $A$ — константа, её можно вынести за знак интеграла:

$$x_{\text{д}}=A\cdot \sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{\sin }^2(\omega t+\phi )dt}$$

Интеграл от ${\sin }^2$ по целому периоду равен $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{T}{\int }_0^T{\sin }^2(\omega t+\phi )dt=\frac{1}{2}$$

Итак:

$$x_{\text{д}}=A\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{A}{\sqrt{2}}\approx 0,707\cdot A$$

🔹 3. Примеры

Если амплитуда переменного напряжения $U=220\sqrt{2}В$, то действующее значение будет:

$$U_{\text{д}}=\frac{U}{\sqrt{2}}=220В$$

Это как раз то напряжение, которое мы видим в розетке: 220 В — действующее значение, а амплитуда выше.

🔹 4. Обратная формула

Если известно действующее значение, можно найти амплитуду:

$$A=x_{\text{д}}\cdot \sqrt{2}$$

🔹 5. Физический смысл

Действующее значение — это эквивалент постоянной величины, которая дала бы такой же тепловой эффект (или работу) за период времени, как и переменное гармоническое значение. Это важно, например, в электротехнике, когда мы хотим оценить, сколько тепла выделит переменный ток в резисторе — и сравниваем его с постоянным током.

🔹 6. Графическая иллюстрация (если бы это был рисунок)

Если представить синусоиду:

• Максимальное значение: $+A$,

• Минимальное значение: $-A$,

• Среднее значение за период: 0 (так как положительная и отрицательная половины симметричны),

• Действующее значение: линия, проходящая выше средней, примерно на 70.7% от амплитуды.

🔹 7. Важно: только для синусоиды

Формула $x_{\text{д}}=\frac{A}{\sqrt{2}}$ справедлива только для чистой синусоиды. Если функция несинусоидальная (например, треугольная или пилообразная), связь будет другой.

🟦 Заключение

• Амплитуда показывает максимальное значение колебания.

• Действующее значение показывает энергетический эквивалент — полезную «среднюю» величину.

• Для синусоиды они связаны через:

$$x_{\text{д}}=\frac{A}{\sqrt{2}},\text{или}A=x_{\text{д}}\cdot \sqrt{2}$$

Эта формула критически важна в радиотехнике, электроснабжении и анализе сигналов.