какой объем информации в битах содержит сообщение уменьшающее неопределенность знаний в 4 раза

Отличный вопрос! Давай подробно разберёмся, как измеряется объём информации в битах и что значит «уменьшение неопределённости знаний в 4 раза».

Основные понятия

1. Информация и неопределённость (энтропия)

В теории информации количество информации, которое содержит сообщение, связано с тем, насколько оно уменьшает неопределённость или энтропию системы.

• Энтропия $H$ — это мера неопределённости или «случайности» исхода. Чем выше энтропия, тем больше неопределённость.

• Когда приходит сообщение, которое уточняет или уменьшает неопределённость, мы говорим, что оно содержит некоторое количество информации.

2. Измерение информации в битах

Информация в теории информации обычно измеряется в битах.

• 1 бит — количество информации, необходимое для выбора между двумя равновероятными исходами (например, «да» или «нет»).

• Бит — это логарифм по основанию 2 от количества возможных состояний.

Что значит «уменьшить неопределённость в 4 раза»?

Допустим, у нас есть начальная неопределённость $H_0$. Сообщение уменьшает её до $H_1$, где

$$H_1=\frac{H_0}{4}$$

То есть новая неопределённость в 4 раза меньше исходной.

Как связать уменьшение неопределённости и количество информации?

Количество информации $I$, которое содержит сообщение, определяется как разница энтропий:

$$I=H_0-H_1$$

Мы знаем, что

$$H_1=\frac{H_0}{4}$$

Тогда

$$I=H_0-\frac{H_0}{4}=\frac{3H_0}{4}$$

Это значит, что сообщение содержит информацию, равную 75% от исходной неопределённости $H_0$.

Как выразить $H_0$ через количество вариантов?

Для конкретики допустим, что исходная неопределённость $H_0$ связана с количеством равновероятных исходов $N$.

Энтропия для равновероятных исходов:

$$H_0={\log }_{2}N\text{(бит)}$$

Если после сообщения количество неопределённых вариантов уменьшается в 4 раза, то количество возможных исходов стало:

$$N_1=\frac{N}{4}$$

Тогда новая энтропия:

$$H_1={\log }_2\left(\frac{N}{4}\right)={\log }_{2}N-{\log }_{2}4=H_0-2$$

Теперь количество информации $I$:

$$I=H_0-H_1=H_0-(H_0-2)=2\text{ бита}$$

Итог

• Уменьшение неопределённости в 4 раза соответствует уменьшению количества возможных исходов в 4 раза.

• Это уменьшение в логарифмической шкале — это уменьшение энтропии на ${\log }_{2}4=2$ бита.

• Значит, сообщение содержит 2 бита информации.

Пример для наглядности

Представим, что у нас есть 16 равновероятных вариантов (например, 16 карточек).

• Исходная энтропия:

$$H_0={\log }_{2}16=4\text{ бита}$$

• Если сообщение уменьшает количество вариантов в 4 раза:

$$N_1=\frac{16}{4}=4$$

• Новая энтропия:

$$H_1={\log }_{2}4=2\text{ бита}$$

• Информация, содержащаяся в сообщении:

$$I=4-2=2\text{ бита}$$

То есть сообщение дало нам 2 бита информации.

Заключение

• Если сообщение уменьшает неопределённость знаний в 4 раза, оно содержит ровно 2 бита информации.

• Это связано с тем, что информация измеряется как логарифм отношения количества вариантов до и после сообщения:

$$I={\log }_2\frac{N}{N_1}={\log }_{2}4=2\text{ бита}$$

Если хочешь, могу помочь разобрать примеры с другими уменьшениями неопределённости или объяснить подробнее, как считать энтропию для более сложных распределений.