что делать если дискриминант отрицательный

Когда дискриминант квадратного уравнения оказывается отрицательным, это означает, что у уравнения нет действительных корней. Однако у нас есть возможность рассматривать комплексные (мнимые) корни. Давай разберемся по порядку.

Что такое дискриминант?

Для квадратного уравнения вида:

$ax^2 + bx + c = 0$

дискриминант ( $D$ ) вычисляется по формуле:

$D = b^2 — 4ac$

Он позволяет определить, сколько и какие корни будет иметь уравнение.

Влияние дискриминанта на корни:

Если $D > 0$ — у уравнения два различных действительных корня.
Если $D = 0$ — у уравнения один действительный корень (кратный корень).
Если $D < 0$ — у уравнения нет действительных корней, но есть два комплексных корня.

Когда дискриминант отрицателен ( $D < 0$ ):

Если дискриминант отрицателен, то корни будут комплексными (мнимыми), потому что при извлечении квадратного корня из отрицательного числа возникает мнимая единица ( $i$ ), где $i = - 1$ .

Формула для комплексных корней:

Корни квадратного уравнения можно выразить через комплексные числа по формуле:

$x=−b±D2ax = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$

Так как дискриминант $D$ отрицателен, можно представить его как:

$D = - ∣ D ∣$

и тогда корни примут вид:

$x=−b±−∣D∣2ax = frac{-b pm sqrt{-|D|}}{2a}$

Это можно переписать с использованием мнимой единицы $i$ :

$x=−b±i∣D∣2ax = frac{-b pm isqrt{|D|}}{2a}$

Пример:

Рассмотрим квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 5 = 0$

Для этого уравнения:

$a = 1$
$b = 2$
$c = 5$

Дискриминант:

$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4(1)(5) = 4 — 20 = -16$

Поскольку дискриминант отрицателен ( $D = - 16$ ), корни будут комплексными. Подставим в формулу:

$x=−2±i162(1)=−2±4i2x = frac{-2 pm isqrt{16}}{2(1)} = frac{-2 pm 4i}{2}$

Таким образом, корни будут:

$x1=−2+4i2=−1+2ix_1 = frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i$
$x2=−2−4i2=−1−2ix_2 = frac{-2 — 4i}{2} = -1 — 2i$

То есть корни этого уравнения — это комплексные числа $x_1 = -1 + 2i$ и $x_2 = -1 — 2i$ .

Как интерпретировать комплексные корни?

Мнимые числа — это числа, которые не могут быть расположены на действительной оси числа. Например, $- 1 + 2 i$ и $- 1 - 2 i$ не имеют геометрического представления на оси $x$ , но они могут быть изображены на комплексной плоскости, где $x$ -координата — это действительная часть числа, а $y$ -координата — мнимая.
В реальной жизни комплексные корни могут возникать в контексте, где есть волновые явления, колебания, или в математике при решении определенных типов задач, связанных с преобразованиями или векторным анализом.

Резюме:

Когда дискриминант уравнения отрицателен, это говорит о том, что у уравнения нет действительных корней, но существуют два комплексных корня, которые можно записать с мнимыми числами. Для вычисления этих корней мы используем мнимую единицу $i$ , и формула для корней принимает вид: