как найти разность арифметической прогрессии

Чтобы найти разность арифметической прогрессии, нужно понимать, что арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается прибавлением постоянного числа (разности) к предыдущему. Разность этой прогрессии называется разностью прогрессии и обозначается обычно символом $d$ .

Что такое разность арифметической прогрессии?

В арифметической прогрессии разность — это число, на которое нужно умножить каждый элемент, чтобы получить следующий. Например, если прогрессия выглядит как:

$a1,a2,a3,a4,…a_1, a_2, a_3, a_4, dots$

где $a_1$ — первый элемент прогрессии, $a_2$ — второй элемент, $a_3$ — третий и так далее, то разность $d$ между любыми двумя соседними членами будет одинаковой:

$a2−a1=a3−a2=a4−a3=⋯=da_2 — a_1 = a_3 — a_2 = a_4 — a_3 = dots = d$

Разность $d$ — это постоянное число, которое прибавляется (или вычитается, если разность отрицательная) к каждому элементу прогрессии.

Как найти разность арифметической прогрессии?

Разность можно найти разными способами, в зависимости от того, что нам известно. Рассмотрим несколько случаев:

1. Если известны два соседних элемента прогрессии

Если в прогрессии есть хотя бы два соседних элемента, например $a_n$ и $a_{n+1}$ , разность прогрессии $d$ можно найти по формуле:

$d = a_{n+1} — a_n$

Пример:
Пусть дано, что $a_3 = 7$ и $a_4 = 10$ . Тогда разность:

$d = a_4 — a_3 = 10 — 7 = 3$

2. Если известен первый и второй элементы прогрессии

Если даны $a_1$ и $a_2$ , то разность можно найти по формуле:

$d = a_2 — a_1$

Пример:
Пусть $a_1 = 2$ и $a_2 = 5$ . Тогда:

$d = a_2 — a_1 = 5 — 2 = 3$

3. Если известен $n$ -й и $m$ -й элементы прогрессии

Если известно два элемента прогрессии, например, $a_n$ и $a_m$ , то разность можно найти через разницу индексов. Для этого используем следующую формулу:

$frac{a_m — a_n}{m — n}$

где $a_m$ и $a_n$ — элементы прогрессии, а $m$ и $n$ — их индексы.

Пример:
Пусть $a_5 = 20$ и $a_2 = 10$ . Найдем разность.

$frac{a_5 — a_2}{5 — 2} = frac{20 — 10}{3} = frac{10}{3} approx 3.33$

4. Если известен общий член прогрессии и его индекс

Если известен $n$ -й элемент прогрессии, то разность можно найти, зная его формулу:

$an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) cdot d$

Эту формулу можно использовать для нахождения разности, если известен первый элемент и хотя бы один член прогрессии. Например, если известно $a_4 = 15$ , $a_1 = 5$ , то можно найти разность $d$ :

$a4=a1+(4−1)⋅da_4 = a_1 + (4 — 1) cdot d$

Подставляем:

$15 = 5 + 3 \cdot d$

Вычитаем 5 с обеих сторон:

$10 = 3 \cdot d$

Делим на 3:

$d=103≈3.33d = frac{10}{3} approx 3.33$

Общая формула для $n$ -го члена арифметической прогрессии

Как правило, мы можем выразить $n$ -й элемент арифметической прогрессии через её первый элемент и разность:

$an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n — 1) cdot d$

Эта формула полезна для вычислений, если известен первый элемент прогрессии и разность. Если известен какой-либо другой элемент, то разность можно найти, решив соответствующее уравнение.

Пример

Возьмем пример:

Пусть нам дана арифметическая прогрессия с первым элементом $a_1 = 3$ , а пятым элементом $a_5 = 15$ .
Нам нужно найти разность $d$ .

Используем формулу для $n$ -го элемента:

$a5=a1+(5−1)⋅da_5 = a_1 + (5 — 1) cdot d$

Подставим значения:

$15 = 3 + 4 \cdot d$

Вычитаем 3 с обеих сторон:

$12 = 4 \cdot d$

Теперь делим на 4:

$d=124=3d = frac{12}{4} = 3$

Итак, разность прогрессии равна $d = 3$ .

Заключение

Разность арифметической прогрессии — это постоянная величина, на которую каждый следующий элемент прогрессии отличается от предыдущего. Разность можно найти разными способами в зависимости от того, какие элементы прогрессии вам известны.

Главные формулы для поиска разности:

$d = a_{n+1} — a_n$
$frac{a_m — a_n}{m — n}$
$frac{a_n — a_1}{n — 1}$

Надеюсь, это объяснение помогло! Если у тебя остались вопросы, не стесняйся задавать.