как найти ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения — это физическая величина, которая описывает ускорение тела, движущегося вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести. Эта величина обозначается как $g$ и зависит от нескольких факторов, таких как высота над уровнем моря и географическое положение, но в общем случае её значение близко к 9,8 м/с². Теперь давай разберем, как именно можно его найти и какие факторы на это влияют.

1. Теоретическое определение

Ускорение свободного падения — это ускорение, с которым тело начинает падать, если на него не действуют другие силы (например, сопротивление воздуха). В классической механике ускорение свободного падения можно выразить с помощью второго закона Ньютона для тела, находящегося в поле тяжести Земли:

$$F=ma$$

где:

• $F$ — сила, действующая на тело (в данном случае сила тяжести);

• $m$ — масса тела;

• $a$ — ускорение (в нашем случае это $g$, ускорение свободного падения).

Сила тяжести на тело определяется по закону всемирного тяготения Ньютона:

$$F=G\frac{Mm}{R^2}$$

где:

• $G$ — гравитационная постоянная ($G=6,674\times 10^{-11}{\text{м}}^3/\text{кг}\cdot {\text{с}}^2$),

• $M$ — масса Земли ($M=5,972\times 10^{24}\text{кг}$),

• $R$ — радиус Земли ($R\approx 6,371\times 10^6\text{м}$).

При этом масса тела $m$ сокращается с обеих сторон уравнения, и мы получаем выражение для ускорения свободного падения $g$:

$$g=G\frac{M}{R^2}$$

Подставляя значения постоянных:

$$g\approx 9,81{\text{м/с}}^2$$

Это теоретическое значение ускорения свободного падения на уровне моря.

2. Экспериментальные методы

Чтобы найти ускорение свободного падения экспериментально, можно воспользоваться несколькими методами. Рассмотрим два наиболее распространенных способа.

Метод 1: Свободное падение с известной высоты

Один из способов — это измерение времени, за которое тело падает с известной высоты. Для этого используется формула для движения с постоянным ускорением:

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

где:

• $h$ — высота падения;

• $t$ — время падения;

• $g$ — ускорение свободного падения.

Из этой формулы можно выразить ускорение свободного падения:

$$g=\frac{2h}{t^2}$$

Для проведения эксперимента нужно точно измерить высоту $h$ и время $t$, за которое тело достигает земли. Например, можно использовать высокоскоростную камеру для точного измерения времени падения.

Метод 2: Колебания маятника

Другой способ — это использование маятника. Если маятник совершает небольшие колебания (при малых углах отклонения), его период $T$ (время одного полного колебания) связан с длиной маятника $L$ и ускорением свободного падения $g$ следующим образом:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Отсюда можно выразить ускорение свободного падения:

$$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$

Для этого метода нужно точно измерить длину маятника $L$ и период $T$ колебаний. Измерение времени можно провести с помощью секундомера или более точных приборов.

3. Факторы, влияющие на значение ускорения свободного падения

Хотя значение ускорения свободного падения на уровне моря обычно принимается равным $9,81{\text{м/с}}^2$, оно может изменяться в зависимости от ряда факторов:

a) Высота над уровнем моря

Значение ускорения свободного падения уменьшается с увеличением высоты над уровнем моря. Это связано с тем, что гравитационная сила зависит от расстояния до центра Земли. С увеличением высоты $R$ уменьшается сила тяжести и, соответственно, ускорение свободного падения.

Формула для ускорения свободного падения на высоте $h$:

$$g_h=g_0{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$

где:

• $g_h$ — ускорение свободного падения на высоте $h$,

• $g_0$ — ускорение свободного падения на уровне моря,

• $R$ — радиус Земли,

• $h$ — высота.

b) Географическое положение

Ускорение свободного падения также зависит от широты. Земля не является идеально круглой, а её форма ближе к сфероидальной (сплюснута у полюсов). Это означает, что на экваторе расстояние до центра Земли немного больше, чем на полюсах. Следовательно, ускорение свободного падения на экваторе немного меньше, чем на полюсах.

Примерное изменение ускорения свободного падения с широтой можно описать так: на экваторе $g\approx 9,78{\text{м/с}}^2$, а на полюсах $g\approx 9,83{\text{м/с}}^2$.

c) Локальные особенности

Также на ускорение свободного падения могут влиять локальные геологические особенности, такие как плотность земных пород и другие природные аномалии. Например, на некоторых участках Земли ускорение свободного падения может быть немного выше или ниже из-за особенностей геологической структуры.

4. Пример вычисления ускорения

Допустим, мы хотим вычислить ускорение свободного падения на высоте 1000 м над уровнем моря. Мы знаем, что на уровне моря $g_0=9,81{\text{м/с}}^2$, радиус Земли $R\approx 6,371\times 10^6\text{м}$, а высота $h=1000\text{м}$.

Используем формулу:

$$g_h=g_0{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$

Подставляем значения:

$$g_h=9,81\times {\left(\frac{6,371,000}{6,372,000}\right)}^2$$
$$g_h\approx 9,81\times (0,999844{)}^2$$
$$g_h\approx 9,81\times 0,999688$$
$$g_h\approx 9,81{\text{м/с}}^2$$

На высоте 1000 м ускорение свободного падения будет чуть меньше, чем на уровне моря, но разница будет незначительная — около $9,80{\text{м/с}}^2$.

Это все основные моменты, связанные с нахождением ускорения свободного падения. В зависимости от метода измерений, точности приборов и условий, результаты могут незначительно отличаться.