какой угол называется центральным углом окружности

Центральным углом окружности называется угол, вершина которого находится в центре окружности, а его стороны — радиусах окружности.

Определение и свойства:

1. Вершина угла: Центральный угол имеет вершину в центре окружности. Это ключевая особенность, отличающая его от других типов углов, например, от вписанных углов.

2. Стороны угла: Стороны центрального угла — это два радиуса, которые исходят из центра окружности и пересекают саму окружность в двух разных точках. Эти радиусы делят окружность на два дуговых сегмента.

3. Величина угла: Центральный угол измеряется в градусах или радианах и равен углу между радиусами, которые составляют его стороны. Например, угол между двумя радиусами может быть 30°, 60° или любая другая величина.

4. Сопутствующие дуги: Величина центрального угла пропорциональна длине дуги, которую он определяет. Если центральный угол $\alpha$ равен $x$ градусов, то длина дуги $s$, которую этот угол отсекает на окружности, пропорциональна углу $\alpha$. При этом полная длина окружности равна $360^{\circ }$ или $2\pi$ радиан.

   • В случае, если угол составляет $360^{\circ }$, то он охватывает всю окружность. Если угол составляет $90^{\circ }$, то он охватывает четверть окружности.

5. Сумма углов: Вся окружность состоит из 360°. Это означает, что сумма всех центральных углов, образующих полный круг, всегда равна 360°. Например, если мы разделим окружность на 6 равных частей, каждый центральный угол будет равен $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$.

6. Связь с вписанными углами: Один интересный факт: если центральный угол окружности равен, например, $\alpha$, то вписанный угол, который опирается на ту же дугу, будет в два раза меньше. То есть, если центральный угол равен $\alpha$, то соответствующий вписанный угол будет $\frac{\alpha }{2}$.

Пример:

Предположим, что у нас есть окружность, радиус которой равен $r$, и центральный угол, равный $90^{\circ }$. Тогда этот угол будет охватывать четверть окружности, и длина дуги, которую он определяет, будет равна $\frac{1}{4}$ от всей длины окружности $2\pi r$. То есть длина дуги будет $\frac{\pi r}{2}$.

Формула для центрального угла:

Центральный угол $\alpha$ можно выразить через длину дуги $s$ и радиус $r$ окружности. Формула будет следующей:

$$\alpha =\frac{s}{r}$$

где:

• $s$ — длина дуги,

• $r$ — радиус окружности.

Если угол измеряется в градусах, то для длины дуги можно использовать формулу:

$$s=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\times 2\pi r$$

Геометрические примеры:

• Центральный угол 360°: Это полный круг, который описывает всю окружность.

• Центральный угол 180°: Это полукруг, он определяет диаметр окружности.

• Центральный угол 90°: Это четверть окружности, и угол составляет прямой угол.

Важное замечание:

Центральные углы играют ключевую роль в таких геометрических задачах, как вычисление длины дуги, площади сектора окружности, а также в изучении свойств многоугольников, вписанных в окружность, и многих других геометрических концепций.

Надеюсь, это поможет тебе лучше понять, что такое центральный угол! Если у тебя остались вопросы или хочешь еще подробнее рассмотреть какие-то моменты, не стесняйся спрашивать!