как звучит третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников называется признаком равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (ССУ). Это один из основных признаков, который позволяет установить, что два треугольника равны, исходя из информации о двух сторонах и угле, который находится между ними.

Суть признака:

Если в двух треугольниках выполнено следующее условие:

• Сторона $AB$ первого треугольника равна стороне $A^{\prime }{B}^{\prime }$ второго треугольника ($AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$),

• Сторона $AC$ первого треугольника равна стороне $A^{\prime }{C}^{\prime }$ второго треугольника ($AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$),

• Угол $\angle CAB$ первого треугольника равен углу $\angle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ второго треугольника ($\angle CAB=\angle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$),

то эти два треугольника будут равны.

Объяснение:

Этот признак утверждает, что если мы знаем две стороны одного треугольника и угол между ними, а также аналогичные данные для второго треугольника, то можно заключить, что треугольники одинаковы. Это особенно полезно, потому что угол между двумя сторонами задает положение этих сторон в пространстве, и если углы совпадают, а стороны равны, то треугольники совпадают полностью.

Подробное объяснение элементов:

1. Стороны: Важно, что речь идет именно о двух сторонах, которые могут быть как прилегающими друг к другу, так и не обязательно, но угол всегда будет между ними. Например, это могут быть стороны $AB$ и $AC$ первого треугольника.

2. Угол: Угол между этими двумя сторонами должен быть одинаковым для обоих треугольников. Угол — это важный элемент, потому что именно он указывает на ориентацию сторон относительно друг друга.

3. Применимость: Этот признак можно использовать в геометрии, когда известны две стороны и угол между ними, и нужно доказать, что два треугольника равны. Он применяется во многих задачах по геометрии, например, при решении задач с пересекающимися прямыми или в контексте описания симметрии фигур.

Пример:

Предположим, у нас есть два треугольника:

• Треугольник $ABC$, где $AB=5$ см, $AC=7$ см и угол $\angle CAB=60^{\circ }$,

• Треугольник $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, где $A^{\prime }{B}^{\prime }=5$ см, $A^{\prime }{C}^{\prime }=7$ см и угол $\angle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=60^{\circ }$.

В этом случае, по третьему признаку равенства треугольников, эти два треугольника равны. Это значит, что все соответствующие стороны и углы в этих треугольниках будут одинаковыми.

Важные замечания:

• Этот признак работает только в случае, если угол расположен между двумя сторонами. Например, нельзя использовать этот признак, если угол находится вне двух сторон (внешний угол или угол, который не принадлежит обеим сторонам).

• Важно помнить, что это именно два признака — стороны и угол между ними. То есть, не существует такого положения, когда только угол и стороны (без угла между ними) позволили бы установить равенство.

Исторический контекст:

Третий признак равенства треугольников был важным открытием в геометрии, так как он позволил значительно упростить доказательства и задачи, связанные с равенством треугольников. До его формулировки математики часто использовали более сложные методы, такие как использование всех трех сторон или углов для сравнения треугольников.

В итоге, признак ССУ позволяет эффективно и быстро решать задачи по геометрии и является основным инструментом для доказательства равенства треугольников, когда известны только две стороны и угол между ними.