какой отрезок называется перпендикуляром проведенным из данной точки к данной прямой

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, — это отрезок, который соединяет точку с прямой таким образом, что этот отрезок перпендикулярен (то есть образует прямой угол) к данной прямой.

Давайте разобьем это на несколько частей, чтобы понять, что именно происходит и почему этот отрезок так важен:

1. Что такое перпендикулярность?

Перпендикулярность — это геометрическое понятие, которое означает, что две линии, прямые или отрезки, образуют угол в 90 градусов. То есть, одна линия стоит строго под углом 90 градусов по отношению к другой.

2. Описание перпендикуляра к прямой

Когда мы говорим о перпендикуляре, проведённом из точки $A$ к прямой $l$, то под этим подразумевается следующее:

• Точка $A$ — это точка, которая не лежит на прямой $l$.

• Прямая $l$ — это линия, к которой мы хотим провести перпендикуляр.

• Перпендикулярный отрезок — это отрезок, соединяющий точку $A$ с точкой на прямой $l$ так, что угол между отрезком и прямой равен 90 градусам.

Этот отрезок называется перпендикулярным отрезком и обозначается как $\overline{AP}$, где $P$ — точка пересечения перпендикуляра с прямой $l$.

3. Свойства перпендикуляра:

1. Угол 90°: Отрезок, соединяющий точку с прямой, является перпендикулярным, если угол между этим отрезком и прямой равен 90 градусам. То есть, угол $\angle APQ=90^{\circ }$, где $Q$ — произвольная точка на прямой $l$, не совпадающая с точкой $P$.

2. Единственность: Из любой точки вне прямой можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Это свойство возникает из теоремы о существовании единственного перпендикуляра через точку, не лежащую на прямой.

3. Кратчайшее расстояние: Перпендикуляр из точки к прямой — это кратчайший отрезок, соединяющий эту точку с прямой. Это значит, что длина перпендикуляра всегда меньше или равна длине любого другого отрезка, соединяющего точку с прямой.

4. Геометрическое объяснение:

Предположим, у нас есть точка $A$ и прямая $l$. Чтобы провести перпендикуляр, мы ищем точку $P$ на прямой, такую что угол $\angle APQ=90^{\circ }$, где $Q$ — произвольная точка на прямой.

Известно, что перпендикуляр из точки до прямой — это линия, которая минимизирует расстояние между точкой и прямой. Для нахождения этого отрезка в разных задачах можно использовать различные методы:

• Геометрические построения.

• Алгебраические вычисления (например, с использованием уравнений прямой и расстояния от точки до прямой в координатах).

5. Пример:

Предположим, у нас есть точка $A(2,3)$ и прямая $y=2x+1$. Нужно провести перпендикуляр из точки $A$ к этой прямой.

1. Сначала находим уравнение прямой, перпендикулярной данной. У нас прямая $y=2x+1$, её угловой коэффициент $k=2$.

2. Угловой коэффициент перпендикуляра будет противоположным и обратным по знаку, то есть $k_{\perp }=-1/2$.

3. Затем, используя точку $A(2,3)$ и угловой коэффициент $k_{\perp }$, находим уравнение перпендикуляра.

4. После этого находим точку пересечения перпендикуляра с прямой $y=2x+1$. Это и будет точка $P$, где перпендикуляр пересекает прямую.

Заключение:

Перпендикуляр из точки к прямой — это особый отрезок, который соединяет точку с прямой так, что образует прямой угол с этой прямой. Он имеет важные геометрические свойства, включая единственность, кратчайшее расстояние и прямой угол.