что является ортогональной проекцией прямой на плоскость

Ортогональная проекция прямой на плоскость — это важный и полезный концепт в геометрии и линейной алгебре, который помогает «смотреть» на прямую с другой стороны, как бы «проецируя» ее на плоскость. Процесс ортогональной проекции связан с нахождением всех точек прямой, которые лежат на линии, перпендикулярной к данной плоскости.

Рассмотрим задачу:

У нас есть прямая $l$, заданная уравнением в пространстве (например, через параметрическое или каноническое уравнение) и плоскость $\pi$, заданная уравнением вида:

$$a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+d=0,$$

где $(a_1,a_2,a_3)$ — нормаль к плоскости.

Необходимо найти ортогональную проекцию этой прямой на плоскость. Что это означает?

Что такое ортогональная проекция?

Ортогональная проекция — это операция, при которой каждая точка фигуры (в данном случае — точки прямой) «проецируется» на плоскость вдоль линии, перпендикулярной этой плоскости. Это значит, что мы ищем точку на плоскости, которая лежит на прямой, проходящей через точку и перпендикулярной к плоскости.

Этапы нахождения ортогональной проекции прямой на плоскость:

1. Параметрическое уравнение прямой:
   Пусть прямая $l$ задана параметрически:

   $$r(t)=P_0+t\cdot v,$$

   где:

   • $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ — точка на прямой,

   • $v=(v_x,v_y,v_z)$ — направляющий вектор прямой,

   • $t$ — параметр.

2. Уравнение плоскости:
   Пусть плоскость $\pi$ задана уравнением:

   $$a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+d=0.$$

   Это уравнение можно переписать как:

   $$a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z=-d.$$

   Вектор $n=(a_1,a_2,a_3)$ — нормаль к плоскости.

3. Поиск ортогональной проекции прямой:
   Теперь, чтобы найти ортогональную проекцию прямой на плоскость, мы ищем новые координаты точек прямой, которые лежат на плоскости $\pi$, и при этом перпендикулярны исходной плоскости.

   Для этого:

   • Для каждой точки прямой $P(t)=P_0+t\cdot v$ находим проекцию этой точки на плоскость.

   • Проекция точки $P(t)$ на плоскость — это точка $P^{\prime }(t)$, которая лежит на прямой, перпендикулярной плоскости, проходящей через $P(t)$.

   Проекция $P^{\prime }(t)$ на плоскость находится по следующей формуле:

   $$P^{\prime }(t)=P(t)-\frac{(a_{1}x(t)+a_{2}y(t)+a_{3}z(t)+d)}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot (a_1,a_2,a_3),$$

   где $x(t),y(t),z(t)$ — координаты точки $P(t)=(x(t),y(t),z(t))$.

   Этот процесс представляет собой движение вдоль прямой, а затем вычитание компоненты вдоль нормали, которая определяет расстояние до плоскости.

Пример:

Предположим, что прямая задана параметрически уравнением:

$$r(t)=(1,2,3)+t\cdot (2,-1,1),$$

а плоскость — уравнением:

$$x+2y-z=4.$$

Тогда:

1. Напишем параметры для прямой $P_0=(1,2,3)$ и $v=(2,-1,1)$.

2. Нормаль к плоскости $n=(1,2,-1)$.

3. Используем вышеописанную формулу для проекции.

После этого можно будет получить параметрическое уравнение для ортогональной проекции прямой на плоскость.

Геометрическое представление:

Ортогональная проекция прямой на плоскость — это линия, которая будет параллельна прямой и лежать в самой плоскости. Для этого достаточно продлить прямую вдоль направления, перпендикулярного плоскости, и рассматривать «тени» этой прямой на плоскости, полученные в результате проекции.

Если прямую и плоскость задавать конкретными уравнениями, то можно вычислить точное уравнение ортогональной проекции.