что называется расстоянием от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой — это минимальное расстояние, которое нужно пройти от данной точки до самой близкой точки на прямой. Это минимальное расстояние измеряется по перпендикуляру, опущенному из данной точки на прямую. Давайте разберёмся более подробно, что это такое, как его вычислить и почему оно именно так определяется.

1. Формальное определение

Предположим, что у нас есть точка $P(x_1,y_1)$ и прямая $\ell$, заданная уравнением в общем виде:

$$Ax+By+C=0$$

Тогда расстояние от точки $P(x_1,y_1)$ до прямой $\ell$ вычисляется по следующей формуле:

$$d=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Здесь:

• $A$, $B$, $C$ — коэффициенты уравнения прямой $\ell$,

• $x_1$, $y_1$ — координаты точки $P$,

• $d$ — искомое расстояние.

Формула возникает из геометрических соображений и использует свойства нормалей, перпендикулярных прямой.

2. Геометрическая интерпретация

Для лучшего понимания можно рассмотреть следующее:

• Прямая $\ell$ в плоскости — это бесконечно длинная линия.

• Точка $P(x_1,y_1)$ находится в некотором расстоянии от этой прямой.

• Чтобы минимизировать это расстояние, нужно спуститься по перпендикуляру от точки $P$ до прямой $\ell$. Этот перпендикуляр будет самым коротким путём.

Интуитивно можно представить, что если бы точка $P$ находилась где-то далеко от прямой, то она была бы связана с прямой множеством точек, но самая ближайшая точка будет именно та, в которой проведён перпендикуляр.

3. Почему именно перпендикуляр?

Постулаты геометрии говорят, что из всех возможных отрезков, соединяющих точку с прямой, именно перпендикулярный отрезок будет наименьшим. Это свойство прямо вытекает из теоремы о минимизации расстояний, основанной на принципах ортогональности (перпендикулярности).

4. Применение формулы на примере

Предположим, что у нас есть точка $P(1,2)$ и прямая $3x+4y-5=0$. Нам нужно найти расстояние от точки $P$ до этой прямой.

Используем формулу:

$$d=\frac{|3(1)+4(2)-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+8-5|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|6|}{5}=\frac{6}{5}$$

Ответ: расстояние от точки $P(1,2)$ до прямой $3x+4y-5=0$ равно $\frac{6}{5}$.

5. Доказательство формулы для расстояния

Для того чтобы понять, как получилась эта формула, рассмотрим прямую, заданную уравнением $Ax+By+C=0$. Перпендикуляр от точки $P(x_1,y_1)$ к прямой будет образовывать угол 90 градусов с направлением прямой.

Сначала мы находим уравнение перпендикуляра, а затем рассчитываем точку пересечения перпендикуляра с прямой. Расстояние между точкой и прямой — это длина отрезка, соединяющего точку и эту точку пересечения.

6. Простые случаи

• Если прямая вертикальна или горизонтальна, то вычисление расстояния упрощается, так как перпендикуляр будет либо горизонтальным, либо вертикальным, и расстояние будет просто разницей между соответствующими координатами точек.

  Например, для вертикальной прямой $x=a$ и точки $P(x_1,y_1)$, расстояние будет равно $|x_1-a|$.

• Если точка лежит на прямой, то расстояние будет равно нулю.

7. Рассмотрение на 3D

Расстояние от точки до прямой можно также обобщить на трёхмерное пространство. В этом случае прямую можно задать параметрически или векторным уравнением. Расстояние от точки $P(x_1,y_1,z_1)$ до прямой определяется через векторное произведение векторов.

Однако в 2D, как мы видим, для большинства случаев достаточно использовать простую формулу, приведённую выше.

Заключение

Расстояние от точки до прямой — это геометрический показатель, определяющий минимальное расстояние, которое нужно пройти от точки до самой близкой точки на прямой, и оно всегда измеряется по перпендикуляру. Формула для его нахождения является стандартной и широко применяется в аналитической геометрии.