какой из формул выражена зависимость между тангенсом и котангенсом

Зависимость между тангенсом и котангенсом выражается через обратные функции. Рассмотрим это более подробно:

Определение тангенса и котангенса:

Тангенс (tg или tan) угла $θ$ в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета (или его длины) к прилежащему катету (или его длине):
$tan⁡(θ)=противолежащий катетприлежащий катетtan(theta) = frac{text{противолежащий катет}}{text{прилежащий катет}}$
Котангенс (ctg или cot) угла $θ$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету:
$cot⁡(θ)=прилежащий катетпротиволежащий катетcot(theta) = frac{text{прилежащий катет}}{text{противолежащий катет}}$

Как видно, котангенс является обратной величиной к тангенсу. То есть, можно выразить котангенс через тангенс, и наоборот.

Зависимость тангенса и котангенса:

Если мы имеем тангенс угла $θ$ , то котангенс будет его обратной величиной:

$cot⁡(θ)=1tan⁡(θ)cot(theta) = frac{1}{tan(theta)}$

И наоборот, если у нас есть котангенс угла, то тангенс можно выразить как его обратную величину:

$tan⁡(θ)=1cot⁡(θ)tan(theta) = frac{1}{cot(theta)}$

Алгебраическая зависимость:

Если $tan (θ) = x$ , то $cot⁡(θ)=1xcot(theta) = frac{1}{x}$ .
Если $cot (θ) = x$ , то $tan⁡(θ)=1xtan(theta) = frac{1}{x}$ .

Это самые простые и прямые формулы для взаимной связи этих функций.

Геометрический смысл:

Чтобы лучше понять эту зависимость, представьте себе прямоугольный треугольник. Для угла $θ$ :

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Если мы меняем местами катеты, то мы как раз и получаем обратную величину, что и объясняет зависимость между тангенсом и котангенсом.

Пример:

Если $45^circ$ , то:

$tan⁡(45∘)=1tan(45^circ) = 1$
$cot⁡(45∘)=1cot(45^circ) = 1$

В более общем случае:

Если $tan⁡(30∘)≈0.577tan(30^circ) approx 0.577$ , то $cot⁡(30∘)=1tan⁡(30∘)≈1.732cot(30^circ) = frac{1}{tan(30^circ)} approx 1.732$ .

Применение:

Эти соотношения важны для упрощения тригонометрических выражений, а также при решении уравнений и задач, где необходимо переходить от одной тригонометрической функции к другой.