как найти радиус описанной окружности

Чтобы найти радиус описанной окружности вокруг треугольника, нужно использовать формулы, которые зависят от характеристик самого треугольника, таких как его стороны, площадь и полупериметр.

Теоретическая база

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Для нахождения радиуса описанной окружности существует несколько различных методов. Приведу два основных:

1. Формула через стороны треугольника и его площадь

Если известны длины сторон треугольника $a$, $b$, и $c$, то радиус описанной окружности $R$ можно найти с помощью следующей формулы:

$$R=\frac{abc}{4S}$$

где:

• $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника,

• $S$ — площадь треугольника.

Как найти площадь треугольника $S$?

Площадь $S$ можно вычислить с помощью формулы Герона, которая позволяет найти площадь по длинам всех сторон. Для этого нужно сначала вычислить полупериметр $p$:

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

После этого площадь $S$ вычисляется по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Пример:

Предположим, что у нас есть треугольник с длинами сторон:

• $a=6$,

• $b=8$,

• $c=10$.

Сначала вычислим полупериметр:

$$p=\frac{6+8+10}{2}=12$$

Теперь находим площадь по формуле Герона:

$$S=\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}=\sqrt{12\times 6\times 4\times 2}=\sqrt{576}=24$$

Теперь, зная площадь, можем найти радиус описанной окружности:

$$R=\frac{6\times 8\times 10}{4\times 24}=\frac{480}{96}=5$$

Таким образом, радиус описанной окружности равен 5.

2. Формула через угол и сторону треугольника

Если известен угол $A$ между двумя сторонами $b$ и $c$, то радиус описанной окружности можно вычислить по формуле:

$$R=\frac{a}{2\sin A}$$

где:

• $a$ — одна из сторон треугольника,

• $A$ — угол напротив этой стороны.

Эта формула применима в случае, когда известен хотя бы один угол и соответствующие ему стороны.

Пример:

Допустим, у нас есть треугольник с $a=8$ и углом $A=60^{\circ }$. Тогда радиус будет равен:

$$R=\frac{8}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{8}{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}\approx 4.62$$

3. Упрощенная формула для прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности можно найти по упрощенной формуле:

$$R=\frac{c}{2}$$

где $c$ — гипотенуза треугольника. Это связано с тем, что в прямоугольном треугольнике описанная окружность проходит через все три вершины, и её диаметр равен гипотенузе.

Пример:

Если в прямоугольном треугольнике гипотенуза $c=10$, то радиус будет равен:

$$R=\frac{10}{2}=5$$

4. Связь радиуса описанной окружности и углов

Если известны углы треугольника, то можно выразить радиус через углы и стороны, но для этого уже нужно использовать более сложные формулы. Однако основные методы, которые я привел выше, покрывают большинство стандартных случаев.

Таким образом, существует несколько способов нахождения радиуса описанной окружности, но чаще всего используется формула через стороны и площадь, или через угол и сторону. Важно помнить, что для разных типов треугольников (например, прямоугольных) могут быть применены упрощенные формулы.