как найти первый член арифметической прогрессии

Чтобы найти первый член арифметической прогрессии, нужно понять, что такое арифметическая прогрессия и какие данные у нас есть.

Арифметическая прогрессия (АП)

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разница между любыми двумя последовательными членами постоянна. Эта разница называется разностью прогрессии и обозначается обычно как $d$ .

Прогрессия выглядит следующим образом:

$a1,a2,a3,…,ana_1, a_2, a_3, dots, a_n$

где:

$a_1$ — первый член прогрессии,
$a_2 = a_1 + d$ — второй член прогрессии,
$a_3 = a_1 + 2d$ — третий член прогрессии,
и так далее.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии

Каждый член прогрессии можно выразить через первый член и разность прогрессии. Общая формула для $n$ -го члена арифметической прогрессии выглядит так:

$an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n — 1) cdot d$

где:

$a_n$ — n-й член прогрессии,
$a_1$ — первый член прогрессии,
$n$ — номер члена,
$d$ — разность прогрессии.

Как найти первый член?

Для того чтобы найти первый член прогрессии ( $a_1$ ), нужно воспользоваться данными, которые у нас есть.

Если известно $a_n$ (n-й член прогрессии), разность прогрессии $d$ и номер члена $n$ , то можно выразить первый член через эти данные:

$a1=an−(n−1)⋅da_1 = a_n — (n — 1) cdot d$

Если известно несколько членов прогрессии, например, два члена $a_m$ и $a_n$ , то можно найти разность прогрессии $d$ по следующей формуле:

$frac{a_n — a_m}{n — m}$

Затем, зная разность $d$ , можно найти первый член $a_1$ с использованием формулы для $a_n$ :

$a1=am−(m−1)⋅da_1 = a_m — (m — 1) cdot d$

Пример 1: Найдем первый член, зная $a_5$ и разность $d$

Допустим, $a_5 = 20$ , а разность $d = 3$ .

Используем формулу:

$a1=a5−(5−1)⋅da_1 = a_5 — (5 — 1) cdot d$
$a1=20−4⋅3a_1 = 20 — 4 cdot 3$
$a_1 = 20 — 12 = 8$

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 8$ .

Пример 2: Найдем первый член, зная два члена прогрессии

Предположим, что $a_2 = 7$ и $a_8 = 22$ .

Сначала находим разность $d$ с помощью формулы:

$frac{a_8 — a_2}{8 — 2} = frac{22 — 7}{6} = frac{15}{6} = 2.5$

Теперь, зная разность $d = 2.5$ , можем найти первый член прогрессии $a_1$ , используя формулу для $a_2$ :

$a2=a1+(2−1)⋅da_2 = a_1 + (2 — 1) cdot d$
$a_1 + 1 cdot 2.5$
$a_1 = 7 — 2.5 = 4.5$

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 4.5$ .

Когда первый член не нужен напрямую?

Иногда вам не нужно искать первый член напрямую, а достаточно использовать его в контексте задачи. Например, если вас просят найти сумму первых $n$ членов прогрессии, то можно использовать следующую формулу для суммы $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$Sn=n2⋅(2a1+(n−1)⋅d)S_n = frac{n}{2} cdot (2a_1 + (n — 1) cdot d)$

Если же известно $S_n$ , $n$ , $d$ и нужно найти первый член $a_1$ , то эту задачу можно решить алгебраически, выражая $a_1$ через другие параметры.

Важные моменты:

Чтобы точно рассчитать первый член, важно правильно понять, какие данные вам даны (разность, члены прогрессии и т. д.).
Если у вас есть только одно уравнение с несколькими неизвестными, задача может быть нерешаемой без дополнительных данных.

Надеюсь, что ответ был понятен и подробен! Если что-то осталось неясным или хотите дополнительные примеры, дайте знать!