Когда дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 равен нулю, это означает, что у уравнения есть один единственный корень. Это важное свойство, которое определяется математической формулой для решения квадратных уравнений через дискриминант.
Формула для решения квадратного уравнения:
Чтобы решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, нужно использовать формулу:
x=−b±D2ax = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}
где:
aa, bb и cc — коэффициенты уравнения.
D=b2−4acD = b^2 — 4ac — дискриминант.
Если дискриминант D=0D = 0, то корни уравнения вычисляются по следующей формуле:
x=−b2ax = frac{-b}{2a}
Пояснение:
Что происходит, когда дискриминант равен нулю?
Дискриминант определяет количество и тип корней квадратного уравнения:
Если D>0D > 0, то у уравнения два различных вещественных корня.
Если D=0D = 0, то у уравнения есть один корень, который называется двойным или многократным. Это означает, что обе корни совпадают, и уравнение можно записать как (x−x0)2=0(x — x_0)^2 = 0, где x0x_0 — этот единственный корень.
Если D<0D < 0, то у уравнения нет вещественных корней, но могут быть комплексные корни.
Графически:
Когда дискриминант равен нулю, график квадратичной функции y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c касается оси xx в одной точке. Это означает, что вершина параболы находится на оси абсцисс, и она пересекает ось xx в одной точке.Пример:
Рассмотрим уравнение x2−6x+9=0x^2 — 6x + 9 = 0:
Для этого уравнения:
a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9.
Дискриминант D=(−6)2−4(1)(9)=36−36=0D = (-6)^2 — 4(1)(9) = 36 — 36 = 0.
Теперь подставим в формулу для корня:
x=−(−6)2(1)=62=3x = frac{-(-6)}{2(1)} = frac{6}{2} = 3
Таким образом, у этого уравнения один корень, и он равен 3.
Почему дискриминант равен нулю?
Дискриминант равен нулю в тех случаях, когда b2=4acb^2 = 4ac. Это означает, что квадратное уравнение можно факторизовать в форму (x−p)2=0(x — p)^2 = 0, где pp — единственный корень.
В случае D=0D = 0 у нас есть два одинаковых корня, то есть уравнение имеет дублированный корень.
Смыслом этого является то, что уравнение не имеет «разделенных» решений, а решение является уникальным и повторяющимся.
Важные моменты:
Если дискриминант равен нулю, это всегда значит, что уравнение имеет один корень, который можно найти по формуле x=−b2ax = frac{-b}{2a}.
Этот корень называется двойным, и он может быть геометрически представлен как точка касания параболы с осью абсцисс.
Если квадратное уравнение имеет дискриминант равный нулю, его график всегда имеет вершину, которая находится на оси xx, и парабола касается оси xx в одной точке, что означает единственный корень.
Подытожим:
Когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю, это означает, что у уравнения есть единственный корень. Этот корень можно найти через формулу x=−b2ax = frac{-b}{2a}, и его можно рассматривать как двойной корень, поскольку оба корня совпадают.
