Решение примеров с многочленами (или полиномами) — важная тема в алгебре. Чтобы научиться правильно и уверенно их решать, нужно понять основные операции и методы работы с ними. Ниже я объясню максимально подробно, что такое многочлены, какие действия с ними выполняют и как решать примеры.
📌 Что такое многочлен?
Многочлен (или полином) — это выражение, состоящее из суммы одночленов (мономов), например:
3×2−5x+73x^2 — 5x + 7
Здесь:
3x23x^2 — одночлен второй степени
−5x-5x — одночлен первой степени
+7+7 — одночлен нулевой степени (свободный член)
✅ Основные операции с многочленами
Вот основные типы задач, которые ты встретишь:
1. Сложение и вычитание многочленов
Суть: складываем или вычитаем одночлены с одинаковыми степенями.
Пример:
(3×2+2x−5)+(4×2−7x+1)(3x^2 + 2x — 5) + (4x^2 — 7x + 1)
Шаги:
Убери скобки:
3×2+2x−5+4×2−7x+13x^2 + 2x — 5 + 4x^2 — 7x + 1
Сложи одночлены одинаковой степени:
3×2+4×2=7x23x^2 + 4x^2 = 7x^2
2x−7x=−5x2x — 7x = -5x
−5+1=−4-5 + 1 = -4
Ответ:
7×2−5x−47x^2 — 5x — 4
2. Умножение многочленов
🔹 Одночлен × многочлен
Пример:
2x⋅(3×2−4x+5)2x cdot (3x^2 — 4x + 5)
Решение:
Умножаем каждое слагаемое на 2x2x:
2x⋅3×2=6x32x cdot 3x^2 = 6x^3
2x⋅(−4x)=−8x22x cdot (-4x) = -8x^2
2x⋅5=10x2x cdot 5 = 10x
Ответ:
6×3−8×2+10x6x^3 — 8x^2 + 10x
🔹 Многочлен × многочлен
Пример:
(x+2)(x−3)(x + 2)(x — 3)
Шаги (по распределительному закону):
x(x−3)+2(x−3)=x2−3x+2x−6x(x — 3) + 2(x — 3) = x^2 — 3x + 2x — 6
Упрощаем:
x2−x−6x^2 — x — 6
3. Возведение многочлена в степень
Пример:
(x+1)2(x + 1)^2
Это означает: (x+1)(x+1)(x + 1)(x + 1)
Решаем:
x(x+1)+1(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1x(x + 1) + 1(x + 1) = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1
🔹 Можно также использовать формулы сокращённого умножения (о них чуть позже).
4. Деление многочлена на одночлен
Пример:
6×3−9×2+12x3xfrac{6x^3 — 9x^2 + 12x}{3x}
Делим каждый одночлен по отдельности:
6×3÷3x=2x26x^3 ÷ 3x = 2x^2
−9×2÷3x=−3x-9x^2 ÷ 3x = -3x
12x÷3x=412x ÷ 3x = 4
Ответ:
2×2−3x+42x^2 — 3x + 4
5. Формулы сокращённого умножения
Они ускоряют решение. Нужно выучить:
| Формула | Раскрытие |
|---|---|
| (a+b)2(a + b)^2 | a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 |
| (a−b)2(a — b)^2 | a2−2ab+b2a^2 — 2ab + b^2 |
| (a+b)(a−b)(a + b)(a — b) | a2−b2a^2 — b^2 |
Пример:
(x−4)2=x2−8x+16(x — 4)^2 = x^2 — 8x + 16
6. Приведение подобных членов
Пример:
2×2+3x−5+4×2−x+72x^2 + 3x — 5 + 4x^2 — x + 7
Приводим подобные:
2×2+4×2=6x22x^2 + 4x^2 = 6x^2
3x−x=2x3x — x = 2x
−5+7=2-5 + 7 = 2
Ответ:
6×2+2x+26x^2 + 2x + 2
🧠 Как решать примеры пошагово?
Пример задачи:
(2x+3)2−(x−1)(x+4)(2x + 3)^2 — (x — 1)(x + 4)
Шаг 1: раскрыть скобки
(2x+3)2=4×2+12x+9(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 (по формуле)
(x−1)(x+4)=x2+4x−x−4=x2+3x−4(x — 1)(x + 4) = x^2 + 4x — x — 4 = x^2 + 3x — 4
Шаг 2: Вычесть
(4×2+12x+9)−(x2+3x−4)(4x^2 + 12x + 9) — (x^2 + 3x — 4)
Шаг 3: Раскрой минус и приведи подобные:
4×2+12x+9−x2−3x+4=(4×2−x2)+(12x−3x)+(9+4)4x^2 + 12x + 9 — x^2 — 3x + 4 = (4x^2 — x^2) + (12x — 3x) + (9 + 4)
Ответ:
3×2+9x+133x^2 + 9x + 13
💡 Полезные советы
Всегда упрощай выражение перед выполнением действий.
Сортируй члены по степеням (по убыванию): сначала x3x^3, потом x2x^2, потом xx, потом число.
Следи за знаками! Минусы часто портят ответ.
Выучи формулы сокращённого умножения. Они часто встречаются.
Если ты хочешь, я могу:
Показать ещё примеры
Дать тебе задачи для тренировки
Проверить твои решения
Хочешь попробовать решать вместе?
