как найти расстояние между прямыми

Для того чтобы найти расстояние между двумя прямыми в пространстве, существует несколько способов в зависимости от того, как заданы эти прямые. Рассмотрим самую распространённую задачу — нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.

1. Параметрическое уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана в параметрической форме, например:

$$r=a+t\cdot v$$

где:

• $a$ — точка на прямой,

• $v$ — вектор, который определяет направление прямой,

• $t$ — параметр.

2. Уравнение прямой в общем виде

Если прямые заданы уравнениями общего вида, например:

• Прямая $1$: $r_1=a_1+t\cdot v_1$,

• Прямая $2$: $r_2=a_2+s\cdot v_2$,

где $r_1$ и $r_2$ — радиус-вектора точек на этих прямых, $t$ и $s$ — параметры.

3. Прямые в пространстве могут быть:

• Параллельными, когда направления прямых (векторы $v_1$ и $v_2$) коллинеарны,

• Скрещивающимися (не параллельными, не пересекающимися).

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Для скрещивающихся прямых расстояние между ними можно найти с помощью формулы, использующей векторное произведение. Рассмотрим два радиус-вектора $a_1$ и $a_2$, соединяющих точки на этих прямых, и два вектора направления $v_1$ и $v_2$.

Формула для расстояния:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми будет равно:

$$d=\frac{|(a_2-a_1)\cdot (v_1\times v_2)|}{|v_1\times v_2|}$$

где:

• $a_1$ и $a_2$ — координаты точек на прямых,

• $v_1$ и $v_2$ — векторы направления прямых,

• $v_1\times v_2$ — векторное произведение векторов направления этих прямых,

• $\cdot$ — скалярное произведение.

Шаги нахождения расстояния:

1. Вычислите векторное произведение $v_1\times v_2$.

2. Вычислите разность векторов $a_2-a_1$.

3. Найдите скалярное произведение этого вектора с результатом векторного произведения.

4. Найдите длину векторного произведения $v_1\times v_2$.

5. Подставьте все в формулу.

5. Расстояние между параллельными прямыми

Если прямые параллельны, то можно использовать простую формулу для расстояния между ними. Расстояние между параллельными прямыми будет равно расстоянию между точкой на одной прямой и ближайшей точкой на другой. Это расстояние вычисляется как перпендикулярное расстояние от точки $a_1$ на первой прямой до второй прямой.

Для параллельных прямых, заданных уравнениями:

• Прямая 1: $r_1=a_1+t\cdot v_1$,

• Прямая 2: $r_2=a_2+s\cdot v_1$,

где $v_1$ — вектор, определяющий направление обеих прямых, расстояние будет равно длине перпендикуляра из точки $a_1$ до прямой 2. Эта длина вычисляется по формуле:

$$d=\frac{|(a_2-a_1)\cdot v_1|}{|v_1|}$$

Пример:

Давайте рассмотрим пример для скрещивающихся прямых.

Пусть:

• Прямая 1: $r_1=a_1+t\cdot v_1$, где $a_1=(1,0,0)$, $v_1=(1,1,0)$,

• Прямая 2: $r_2=a_2+s\cdot v_2$, где $a_2=(0,1,0)$, $v_2=(0,1,1)$.

1. Векторное произведение $v_1\times v_2=(1,1,0)\times (0,1,1)=(1,-1,1)$.

2. Разность $a_2-a_1=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0)$.

3. Скалярное произведение: $(-1,1,0)\cdot (1,-1,1)=-1-1+0=-2$.

4. Длина векторного произведения: $|v_1\times v_2|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3}$.

5. Расстояние:

$$d=\frac{|-2|}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Заключение

Для нахождения расстояния между двумя прямыми важно понимать, какие прямые вам даны. Для скрещивающихся прямых применяйте формулу, включающую векторное произведение, для параллельных — просто найдите перпендикулярное расстояние.