какое перемещение совершает тело колеблющееся на нити за время равное половине периода

Для того чтобы ответить на твой вопрос, нужно рассмотреть колебания тела, совершающего движение по закону простых гармонических колебаний (ПГК). Тело колеблется на нити, и если предположить, что оно подвешено на идеальной невесомой нити, то его движение будет представлять собой гармоническое колебание.

1. Характеристика движения

Для простого гармонического колебания у нас есть несколько ключевых параметров:

• Амплитуда колебания $A$ — максимальное отклонение тела от положения равновесия.

• Период колебаний $T$ — время, за которое тело совершает полный цикл колебаний (от одного положения до того же положения через равновесие и обратно).

• Частота колебаний $f$ — количество полных колебаний в единицу времени ($f=\frac{1}{T}$).

График колебания — это синусоида, которая зависит от времени и имеет вид:

$$x(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$$

где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $t$, $A$ — амплитуда колебаний, $\omega =\frac{2\pi }{T}$ — угловая частота, ${\phi }_0$ — начальная фаза.

2. Позиция тела через половину периода

Период колебания — это время, за которое тело совершает полный цикл. Если тело совершает колебания за период $T$, то половина периода будет составлять:

$$\frac{T}{2}$$

Рассмотрим, что происходит с телом в этот момент. Начнем с того, что в момент времени $t=0$ тело будет находиться в некотором положении. Без потери общности можно принять, что тело начинает движение с максимального отклонения от положения равновесия $x(0)=A$ (то есть с амплитуды).

Через половину периода (то есть через время $t=\frac{T}{2}$) тело будет находиться в другом положении. Чтобы точно понять, какое это положение, подставим $t=\frac{T}{2}$ в уравнение колебания:

$$x(t)=A\cos \left(\omega t+{\phi }_0\right)$$

Если предположить, что начальная фаза ${\phi }_0=0$ (то есть тело начинает движение из положения максимального отклонения), то:

$$x\left(\frac{T}{2}\right)=A\cos \left(\omega \cdot \frac{T}{2}\right)$$

Поскольку угловая частота $\omega =\frac{2\pi }{T}$, подставим это в выражение:

$$x\left(\frac{T}{2}\right)=A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot \frac{T}{2}\right)=A\cos \left(\pi \right)$$

Поскольку $\cos (\pi )=-1$, то:

$$x\left(\frac{T}{2}\right)=-A$$

Это означает, что через половину периода тело будет находиться в самом противоположном положении относительно исходного положения (положение максимального отклонения в другую сторону).

3. Пройденный путь за половину периода

Теперь разберемся, какой путь тело пройдет за половину периода. Путь — это интеграл длины траектории. За одну полную амплитуду колебания тело проходит путь, равный $2A$. Таким образом, за половину периода тело пройдет путь:

$$\text{Пройденный путь}=2A$$

4. Вывод

• За время, равное половине периода колебаний, тело совершает перемещение от максимального отклонения (например, $A$) до противоположного максимального отклонения ($-A$).

• Путь, пройденный телом, составит $2A$, то есть тело пройдет через положение равновесия и далее до противоположной амплитуды.

Таким образом, перемещение тела за половину периода равно $2A$, а путь, пройденный телом, равен $2A$.