Раскрытие скобок в квадрате — это стандартная операция в алгебре, когда мы возводим в квадрат сумму или разность двух выражений. Рассмотрим два основных случая: раскрытие скобок при возведении в квадрат суммы и при возведении в квадрат разности. Пройдем по каждому из них очень детально.
1. Возведение в квадрат суммы: (a+b)2(a + b)^2
Когда мы видим выражение вида (a+b)2(a + b)^2, то это означает, что нужно умножить (a+b)(a + b) на себя:
(a+b)2=(a+b)⋅(a+b)(a + b)^2 = (a + b) cdot (a + b)
Для раскрытия скобок используем распределительное свойство умножения, которое гласит, что x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx cdot (y + z) = x cdot y + x cdot z. В данном случае нам нужно умножить каждое слагаемое из первого выражения на каждое слагаемое из второго.
Развернем поэтапно:
(a+b)(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b(a + b)(a + b) = a cdot a + a cdot b + b cdot a + b cdot b
Теперь упрощаем:
a⋅a=a2a cdot a = a^2,
a⋅b=aba cdot b = ab,
b⋅a=abb cdot a = ab (поскольку умножение коммутативно, ab=baab = ba),
b⋅b=b2b cdot b = b^2.
Итак, итоговый результат:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
2. Возведение в квадрат разности: (a−b)2(a — b)^2
Теперь рассмотрим выражение вида (a−b)2(a — b)^2. Это также означает, что нужно умножить (a−b)(a — b) на себя:
(a−b)2=(a−b)⋅(a−b)(a — b)^2 = (a — b) cdot (a — b)
Как и в случае с суммой, применим распределительное свойство:
(a−b)(a−b)=a⋅a−a⋅b−b⋅a+b⋅b(a — b)(a — b) = a cdot a — a cdot b — b cdot a + b cdot b
Упрощаем:
a⋅a=a2a cdot a = a^2,
a⋅b=aba cdot b = ab,
b⋅a=abb cdot a = ab (так как умножение коммутативно),
b⋅b=b2b cdot b = b^2.
Таким образом, получаем:
(a−b)2=a2−2ab+b2(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2
Основные шаги раскрытия скобок:
Раскройте скобки, применяя распределительное свойство умножения относительно суммы или разности.
Упростите выражение, сложив или вычитая однотипные термины (например, ab+ab=2abab + ab = 2ab).
Результат будет квадратичным выражением.
Важные моменты:
В случае с суммой (a+b)2(a + b)^2 появляются положительные члены, и 2ab2ab — это удвоенное произведение aa и bb.
В случае с разностью (a−b)2(a — b)^2 появляется отрицательное произведение 2ab2ab, поскольку минус перед bb меняет знак произведения.
Пример:
(x+3)2(x + 3)^2:
(x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 2 cdot x cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9
(2x−5)2(2x — 5)^2:
(2x−5)2=(2x)2−2⋅2x⋅5+(−5)2=4×2−20x+25(2x — 5)^2 = (2x)^2 — 2 cdot 2x cdot 5 + (-5)^2 = 4x^2 — 20x + 25
Вот так можно раскрывать скобки в квадрате!
Если нужно что-то уточнить или пройти еще несколько примеров, просто скажи!
