что такое синус косинус и тангенс

Синус, косинус и тангенс — это три основных тригонометрических функции, которые играют важную роль в геометрии, математике, физике, инженерии и других науках. Они впервые возникли в контексте изучения отношений между сторонами и углами в треугольниках, но со временем их определение и применение значительно расширились.

📐 Геометрическое определение (в прямоугольном треугольнике)

Рассмотрим прямоугольный треугольник — то есть треугольник, в котором один угол равен 90°. Обозначим:

угол $α$ — острый угол треугольника,
гипотенуза — сторона напротив прямого угла (самая длинная),
прилежащий катет — сторона, прилегающая к углу $α$ ,
противолежащий катет — сторона, лежащая напротив угла $α$ .

1. Синус (обозначается $sin (α)$ )

Это отношение длины противолежащего катета к гипотенузе:

$sin⁡(α)=противолежащий катетгипотенузаsin(alpha) = frac{text{противолежащий катет}}{text{гипотенуза}}$

2. Косинус (обозначается $cos (α)$ )

Это отношение длины прилежащего катета к гипотенузе:

$cos⁡(α)=прилежащий катетгипотенузаcos(alpha) = frac{text{прилежащий катет}}{text{гипотенуза}}$

3. Тангенс (обозначается $tan (α)$ )

Это отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$tan⁡(α)=противолежащий катетприлежащий катет=sin⁡(α)cos⁡(α)tan(alpha) = frac{text{противолежащий катет}}{text{прилежащий катет}} = frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}$

🟢 Определение на единичной окружности

Чтобы расширить понимание этих функций на произвольные углы (в том числе больше 90° или даже отрицательные), вводится тригонометрическая окружность, то есть единичная окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

Рассмотрим точку на окружности, которая определяется углом $α$ , отсчитанным от оси $OX$ против часовой стрелки. Тогда:

$cos (α)$ — это абсцисса (x) этой точки,
$sin (α)$ — это ордината (y) этой точки,
$tan⁡(α)=yx=sin⁡(α)cos⁡(α)tan(alpha) = frac{y}{x} = frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}$ , если $cos (α) \neq = 0$ .

📉 Графики функций

Все три функции — периодические:

$sin (x)$ и $cos (x)$ имеют период $2 π$ ,
$tan (x)$ имеет период $π$ .

Основные свойства:

Функция	Диапазон (значения)	Область определения	Период
$sin (x)$	от -1 до 1	$R$	$2 π$
$cos (x)$	от -1 до 1	$R$	$2 π$
$tan (x)$	$R$ (все числа)	все $x≠π2+πnx ne frac{pi}{2} + pi n$	$π$

📏 Значения для некоторых углов

Угол $α$	$sin (α)$	$cos (α)$	$tan (α)$
$0∘0^circ$	0	1	0
$30∘30^circ$	$12frac{1}{2}$	$32frac{sqrt{3}}{2}$	$13frac{1}{sqrt{3}}$
$45∘45^circ$	$22frac{sqrt{2}}{2}$	$22frac{sqrt{2}}{2}$	1
$60∘60^circ$	$32frac{sqrt{3}}{2}$	$12frac{1}{2}$	$3$
$90∘90^circ$	1	0	не определено

🔄 Связи между функциями

Основное тригонометрическое тождество:

$sin⁡2(α)+cos⁡2(α)=1sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1$

$tan⁡(α)=sin⁡(α)cos⁡(α)tan(alpha) = frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}$
$sin (- α) = - sin (α)$ , $cos (- α) = cos (α)$ — важные симметрии

📚 Применения

Физика — волны, колебания, колебательные процессы (например, синусоидальный ток).
Геометрия — вычисление сторон и углов в треугольниках.
Астрономия — измерения углов и расстояний между звездами.
Навигация и авиация — определение направлений.
Компьютерная графика — вращение, преобразования объектов.
Музыка и звук — анализ и синтез звуковых волн (синусоида как базовая форма).

Если хочешь, могу добавить анимации, графики, или сделать визуализацию тригонометрического круга — просто скажи.