Метод интервалов — это один из самых мощных и универсальных способов решения рациональных неравенств, произведений и дробей (в общем, когда выражение можно представить в виде произведения или частного множителей). Ниже — максимально подробное объяснение метода.
📌 Когда используется метод интервалов?
Метод интервалов применяется для решения неравенств вида:
(x−a1)(x−a2)…(x−an) >, <, ≥, ≤ 0(x — a_1)(x — a_2)…(x — a_n) >, <, geq, leq 0
P(x)Q(x)>, <, ≥, ≤ 0dfrac{P(x)}{Q(x)} >, <, geq, leq 0, где P(x)P(x) и Q(x)Q(x) — многочлены.
🧠 Идея метода
Решение неравенства сводится к анализу знаков выражения на промежутках, на которые делит числовую прямую нулевые точки (корни) числителя и знаменателя.
🔢 Пошаговый алгоритм метода интервалов
Шаг 1. Привести неравенство к стандартному виду
Выразить неравенство так, чтобы с одной стороны было 0:
(x−2)(x+3)(x−5)>0(x — 2)(x + 3)(x — 5) > 0
x2−9x−4≤0dfrac{x^2 — 9}{x — 4} leq 0
Шаг 2. Найти нули числителя и знаменателя
Найди значения xx, при которых каждая скобка или множитель становится нулём. Это точки разбиения.
Пример:
(x−1)(x+2)(x−4)>0dfrac{(x — 1)(x + 2)}{(x — 4)} > 0
Нули числителя: x=1x = 1, x=−2x = -2
Нули знаменателя: x=4x = 4 (важно: исключается из ОДЗ)
Шаг 3. Отметить точки на числовой прямой
Нанеси найденные корни на числовую прямую в порядке возрастания:
−2 1 4-2quad 1quad 4
Это делит прямую на промежутки:
(−∞,−2)(-infty, -2)
(−2,1)(-2, 1)
(1,4)(1, 4)
(4,+∞)(4, +infty)
Шаг 4. Определить знак выражения на каждом промежутке
Для каждого промежутка подставляем тестовую точку (любое число из промежутка) в исходное выражение. Можно просто определять знак каждого множителя и считать общий знак.
Пример:
Выражение: (x−1)(x+2)(x−4)dfrac{(x — 1)(x + 2)}{(x — 4)}
Рассмотрим промежутки:
x<−2x < -2, возьмём x=−3x = -3:
((-3 — 1)(-3 + 2)/(-3 — 4) = (-)(-)/(–) = + / (–) = –**
−2<x<1-2 < x < 1, возьмём x=0x = 0:
((–)(+)/(–) = –**
1<x<41 < x < 4, возьмём x=2x = 2:
((+)(+)/(–) = –**
x>4x > 4, возьмём x=5x = 5:
((+)(+)/(+) = +**
Записываем знак выражения на каждом промежутке:
| Интервал | Знак выражения |
|---|---|
| (−∞,−2)(-infty, -2) | – |
| (−2,1)(-2, 1) | – |
| (1,4)(1, 4) | – |
| (4,+∞)(4, +infty) | + |
Шаг 5. Учитываем знак неравенства и исключения
Наше неравенство:
(x−1)(x+2)(x−4)>0dfrac{(x — 1)(x + 2)}{(x — 4)} > 0
Нам нужны положительные значения выражения, т.е. где знак «+».
Из таблицы видно: только интервал (4,+∞)(4, +infty) подходит.
Также учитываем:
Точки, где числитель 0 — дают значение 0 → включаем только при ≥geq или ≤leq.
Точки, где знаменатель 0 — всегда исключаем (деление на 0 нельзя!)
В примере:
x=4x = 4 — исключается всегда (деление на 0).
x=1x = 1, x=−2x = -2 — нулевые точки числителя, но у нас строгое неравенство, значит, не включаем.
✅ Ответ:
x∈(4,+∞)x in (4, +infty)
🔁 Пример с произведением:
Решим:
(x−1)(x+3)(x−2)≤0(x — 1)(x + 3)(x — 2) leq 0
Шаг 1: Выражение уже приведено к нужному виду.
Шаг 2: Найдём корни:
x=−3x = -3, x=1x = 1, x=2x = 2
Шаг 3: Отметим на прямой: −3,1,2-3, 1, 2
Шаг 4: Определим знаки на промежутках:
| Интервал | Знаки множителей | Общий знак |
|---|---|---|
| (−∞,−3)(-infty, -3) | (–)(–)(–) → – | – |
| (−3,1)(-3, 1) | (+)(–)(–) → + | + |
| (1,2)(1, 2) | (+)(+)(–) → – | – |
| (2,+∞)(2, +infty) | (+)(+)(+) → + | + |
Шаг 5: Нас интересует ≤0leq 0 → выбираем интервалы со знаком –, а также нулевые точки.
Проверим точки:
x=−3x = -3: скобка (x+3)(x + 3) = 0 → всё выражение = 0 → включаем
x=1x = 1: (x−1)=0(x — 1) = 0 → включаем
x=2x = 2: (x−2)=0(x — 2) = 0 → включаем
✅ Ответ:
x∈[−3,1]∪[1,2]x in [-3, 1] cup [1, 2]
(точка 1 входит один раз, не надо дважды писать, просто объединяется)
❗ Важные замечания:
Точки, где выражение не определено (знаменатель 0) — всегда исключаются.
Если есть степень (например, (x−2)2(x — 2)^2), то на этом промежутке знак не меняется.
Если степень чётная — знак не меняется, нечётная — меняется.
Работает и для иррациональных выражений, если удаётся разложить.
Если хочешь, могу также разобрать пример с иррациональностью или с модулем.
