как найти угол между двумя плоскостями

Для того чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо использовать методы векторной геометрии. Этот угол можно вычислить, используя нормали к этим плоскостям. Давайте пошагово разберем процесс нахождения угла между двумя плоскостями.

Шаг 1: Уравнение плоскости

Плоскость в пространстве обычно задается уравнением:

$$Ax+By+Cz+D=0$$

где $A,B,C$ — коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, и $D$ — константа.

Если у нас есть уравнения двух плоскостей, например:

1. $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ — для первой плоскости

2. $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ — для второй плоскости

то нормали к этим плоскостям будут векторами ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$ и ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$.

Шаг 2: Нахождение угла между нормалями

Угол между плоскостями можно найти через угол между их нормальными векторами. Угол между двумя векторами ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$ и ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$$\cos \theta =\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$$

где:

• ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2$ — скалярное произведение векторов ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$,

• $|{\mathbf{n}}_1|$ и $|{\mathbf{n}}_2|$ — длины (модули) векторов ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$.

Скалярное произведение векторов ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$ можно вычислить по формуле:

$${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2$$

Длины векторов ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$ вычисляются по формулам:

$$|{\mathbf{n}}_1|=\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2},|{\mathbf{n}}_2|=\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}$$

Шаг 3: Вычисление угла

Теперь, зная скалярное произведение и длины векторов, можно найти $\cos \theta$:

$$\cos \theta =\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

Для нахождения угла $\theta$ нужно взять арккосинус этого значения:

$$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\right)$$

Шаг 4: Угол между плоскостями

Этот угол $\theta$ будет углом между нормалями плоскостей. Но так как угол между плоскостями всегда измеряется в диапазоне от 0° до 90°, то угол между самими плоскостями будет равен $90^{\circ }-\theta$, если угол между нормалями больше 90°.

Таким образом, угол между плоскостями можно вычислить как:

$$\text{Угол между плоскостями}=90^{\circ }-\theta$$

Пример

Предположим, что даны следующие уравнения плоскостей:

1. $2x+3y-z+4=0$

2. $5x-y+3z-2=0$

Нормали к этим плоскостям будут:

• ${\mathbf{n}}_1=(2,3,-1)$

• ${\mathbf{n}}_2=(5,-1,3)$

1. Сначала находим скалярное произведение:

$${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=2\cdot 5+3\cdot (-1)+(-1)\cdot 3=10-3-3=4$$

2. Затем находим длины векторов:

$$|{\mathbf{n}}_1|=\sqrt{2^2+3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$$
$$|{\mathbf{n}}_2|=\sqrt{5^2+(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{25+1+9}=\sqrt{35}$$

3. Теперь вычисляем $\cos \theta$:

$$\cos \theta =\frac{4}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{35}}\approx \frac{4}{\sqrt{490}}\approx \frac{4}{22.14}\approx 0.180$$

4. И находим угол между нормалями:

$$\theta ={\cos }^{-1}(0.180)\approx 80.5^{\circ }$$

5. Угол между плоскостями будет:

$$90^{\circ }-80.5^{\circ }=9.5^{\circ }$$

Итог

Угол между двумя плоскостями в данном примере составляет примерно $9.5^{\circ }$.

Вот такой подробный процесс нахождения угла между плоскостями!