как найти тангенс зная косинус

Тангенс угла $\theta$ можно выразить через косинус угла $\theta$, но для этого нужно учитывать и другой тригонометрический элемент — синус. Рассмотрим шаг за шагом, как это можно сделать.

1. Определения

Для начала давай вспомним основные тригонометрические функции:

• Синус угла $\theta$: $\sin (\theta )$ — отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

• Косинус угла $\theta$: $\cos (\theta )$ — отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

• Тангенс угла $\theta$: $\tan (\theta )$ — отношение синуса к косинусу:

$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$$

Если у нас есть значение косинуса, нам нужно найти значение синуса, чтобы потом вычислить тангенс.

2. Связь между синусом и косинусом

Существует важное тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус:

$${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

Зная $\cos (\theta )$, мы можем выразить $\sin (\theta )$ через косинус. Из этого тождества получаем:

$${\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )$$

И, следовательно:

$$\sin (\theta )=\pm \sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}$$

Знак $\pm$ зависит от того, в какой четверти находится угол $\theta$. Если угол $\theta$ лежит в первой или второй четверти, то синус положителен; если в третьей или четвертой — синус отрицателен.

3. Как найти тангенс

Теперь, когда у нас есть выражение для синуса через косинус, мы можем найти тангенс:

$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=\frac{\pm \sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}}{\cos (\theta )}$$

Таким образом, тангенс угла $\theta$ можно выразить как:

$$\tan (\theta )=\pm \frac{\sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}}{\cos (\theta )}$$

4. Пример

Допустим, нам дано значение $\cos (\theta )=0.6$, и мы хотим найти $\tan (\theta )$.

1. Используем тождество для синуса:

$${\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )=1-(0.6{)}^2=1-0.36=0.64$$
$$\sin (\theta )=\pm \sqrt{0.64}=\pm 0.8$$

2. Теперь вычислим тангенс:

$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=\frac{\pm 0.8}{0.6}=\pm \frac{4}{3}$$

Таким образом, тангенс угла может быть $\frac{4}{3}$ или $-\frac{4}{3}$, в зависимости от знака синуса.

5. Резюме

Итак, зная косинус, можно найти тангенс с помощью следующей формулы:

$$\tan (\theta )=\pm \frac{\sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}}{\cos (\theta )}$$

Важно помнить, что для точного ответа нужно учитывать, в какой четверти находится угол, потому что это определяет знак синуса, а следовательно, и знак тангенса.