что если дискриминант равен 0

Если дискриминант квадратичного уравнения равен 0, это имеет важное значение для решения самого уравнения и его корней. Давай разберёмся, что это означает, почему это так, и как это влияет на решение уравнения.

1. Квадратичное уравнение и дискриминант

Квадратичное уравнение имеет вид:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

где $a$, $b$ и $c$ — коэффициенты уравнения, $a\ne 0$.

Дискриминант уравнения (обозначается как $\Delta$) вычисляется по формуле:

$$\Delta =b^2-4ac$$

2. Интерпретация дискриминанта

Дискриминант помогает определить количество и характер корней квадратичного уравнения:

• Если $\Delta >0$, у уравнения два различных корня (два различных значения $x$).

• Если $\Delta =0$, у уравнения есть ровно один корень (он называется повторным или двойным).

• Если $\Delta <0$, у уравнения нет действительных корней (корни комплексные).

3. Что происходит, когда дискриминант равен 0?

Когда $\Delta =0$, это значит, что оба корня уравнения совпадают. У уравнения будет один корень, но этот корень будет повторным.

Если записать корни через формулу для решения квадратного уравнения, которая выглядит так:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$$

то при $\Delta =0$ мы получаем:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-b}{2a}$$

Это означает, что у уравнения есть один единственный корень, который можно выразить как:

$$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$$

Таким образом, уравнение имеет один корень, и он дважды повторяется.

4. Геометрическое толкование

Если рассматривать график функции $y=a{x}^2+bx+c$, то при $\Delta =0$ парабола касается оси $x$ в одной точке, а не пересекает её дважды (как в случае $\Delta >0$) или не пересекает её вообще (как при $\Delta <0$). То есть, вершина параболы лежит на оси $x$, и её единственная точка пересечения с этой осью — это корень уравнения.

5. Пример

Рассмотрим уравнение:

$$x^2-6x+9=0$$

Здесь $a=1$, $b=-6$, $c=9$.

Рассчитаем дискриминант:

$$\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Так как дискриминант равен 0, у нас будет один корень:

$$x=\frac{-(-6)}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$$

Итак, корень уравнения $x=3$ является двойным. Графически это означает, что парабола касается оси $x$ в точке $x=3$.

6. Как это влияет на решение уравнения?

Когда дискриминант равен нулю, решение уравнения становится намного проще, потому что вместо двух различных корней у нас есть всего один. Это может упростить анализ уравнения в контексте различных задач, например, при нахождении точек пересечения графика функции с осью $x$.

Также стоит отметить, что уравнение может быть полным квадратом. Например, если у нас есть уравнение:

$$(x-3{)}^2=0$$

то оно также будет иметь единственный корень, равный $x=3$, что совпадает с случаем, когда дискриминант равен 0.

7. Преимущества и недостатки

• Преимущества: Наличие одного корня упрощает задачу, потому что не нужно искать два различных корня или разбираться с комплексными корнями. Также этот случай может быть полезен в задачах, где необходимо определить оптимальное решение с единственным возможным результатом.

• Недостатки: В некоторых задачах важно, чтобы у уравнения было два разных корня, и в таком случае наличие одного корня (при $\Delta =0$) может быть ограничивающим фактором. Например, при решении задачи нахождения двух точек пересечения двух кривых, если дискриминант равен нулю, это может означать, что кривые касаются друг друга в одной точке.

8. Заключение

Если дискриминант квадратичного уравнения равен нулю, это означает, что у уравнения есть один корень, который повторяется дважды. В геометрическом плане это означает, что график параболы касается оси $x$ в одной точке. Это важный случай, который может упростить решение задач, так как необходимо искать только один корень.