Возведение в отрицательную степень — это достаточно важная тема в математике, и она часто вызывает вопросы. Постараюсь объяснить максимально подробно, что это такое и как работает.
Основное определение
Когда мы говорим о возведении числа в отрицательную степень, это на самом деле обозначает, что число нужно перевернуть (взять его обратную величину) и потом возвести в соответствующую положительную степень.
Формула:
a−n=1ana^{-n} = frac{1}{a^n}
Где:
aa — это основание (любое число, не равное нулю),
nn — показатель степени (целое положительное число),
a−na^{-n} — это выражение, означающее возведение aa в отрицательную степень.
Как это работает на примере:
Возведение в степень с отрицательным показателем:
Пусть a=2a = 2 и n=3n = 3. Мы знаем, что 23=82^3 = 8, но как найти 2−32^{-3}?
Используем правило:
2−3=123=182^{-3} = frac{1}{2^3} = frac{1}{8}
Еще один пример с дробью:
Рассмотрим число 34frac{3}{4} и возведение его в отрицательную степень. Например, (34)−2left(frac{3}{4}right)^{-2}:
(34)−2=1(34)2=1916=169left(frac{3}{4}right)^{-2} = frac{1}{left(frac{3}{4}right)^2} = frac{1}{frac{9}{16}} = frac{16}{9}
То есть, когда мы возводим дробь в отрицательную степень, мы меняем местами числитель и знаменатель, а затем возводим полученную дробь в положительную степень.
Для нуля:
Если основание — это ноль, то возведение нуля в отрицательную степень не определено, так как выражение типа 10nfrac{1}{0^n} приводит к делению на ноль, что невозможно.
0−n не существует0^{-n} text{ не существует}
Почему так?
Вся концепция возведения в отрицательную степень основывается на интуитивном понятии обратных величин. Давайте вспомним, как работает возведение в положительные степени. Когда мы возводим число aa в степень nn, мы умножаем это число само на себя nn раз:
an=a×a×⋯×a (n множителей)a^n = a times a times dots times a text{ (n множителей)}
Теперь, если показатель степени отрицательный, это означает, что мы должны делать операцию, обратную умножению, т.е. делить на ana^n:
a−n=1ana^{-n} = frac{1}{a^n}
Таким образом, отрицательная степень переводит задачу из области умножения в область деления.
Особенности:
Если основание отрицательное:
Например, (−2)−3(-2)^{-3}:
(−2)−3=1(−2)3=1−8=−18(-2)^{-3} = frac{1}{(-2)^3} = frac{1}{-8} = -frac{1}{8}
Здесь мы возводим −2-2 в положительную степень 3, а затем берем обратное значение.
Если степень дробь:
Например, 2−122^{-frac{1}{2}}:
2−12=1212=122^{-frac{1}{2}} = frac{1}{2^{frac{1}{2}}} = frac{1}{sqrt{2}}
Это выражение означает обратную величину квадратного корня из 2.
Возведение в отрицательную степень с комплексными числами:
Когда у нас имеются комплексные числа, то возведение их в отрицательные степени также следует аналогичному принципу, но с дополнительными особенностями, связанными с фазой и модулем комплексного числа. Но это уже более глубокая тема.
Как быть с дробями и числами с более сложными степенями?
Предположим, у нас есть более сложное выражение, например, (23)−4left( frac{2}{3} right)^{-4}. Как это упростить?
Применяем правило отрицательных степеней:
(23)−4=1(23)4left( frac{2}{3} right)^{-4} = frac{1}{left( frac{2}{3} right)^4}
Возводим дробь в степень:
(23)4=2434=1681left( frac{2}{3} right)^4 = frac{2^4}{3^4} = frac{16}{81}
Инвертируем:
11681=8116frac{1}{frac{16}{81}} = frac{81}{16}
Подытожим:
Отрицательная степень — это просто способ выразить обратное значение числа, возведенного в положительную степень.
Для любого числа aa и положительного числа nn, a−n=1ana^{-n} = frac{1}{a^n}.
Ноль не может быть возведен в отрицательную степень.
При работе с дробями и другими числами отрицательная степень означает инверсию числа и последующее возведение в положительную степень.
Если тебе что-то неясно, задавай вопросы, я с радостью помогу разобраться!
