как называют уравнения неравенства имеющие одно и то же множество корней

Уравнения и неравенства, имеющие одно и то же множество корней, обычно называют эквивалентными. Конкретнее, для неравенств принято использовать термин эквивалентные неравенства.

Эквивалентность уравнений и неравенств

Эквивалентность между уравнениями или неравенствами означает, что эти математические выражения имеют одно и то же множество решений, то есть корни этих выражений совпадают.

1. Эквивалентные уравнения

Для уравнений эквивалентность означает, что два уравнения, несмотря на возможные разные формы записи, имеют одинаковые корни. В частности:

• Если из одного уравнения можно получить другое с помощью преобразований, не изменяющих его решений, то уравнения считаются эквивалентными. Это могут быть такие преобразования, как:

  • сложение или вычитание одинаковых выражений с обеих сторон,

  • умножение или деление на положительные числа,

  • возведение обеих частей в одинаковую степень (при соблюдении условий, например, для квадратичных уравнений),

  • применение различных алгебраических методов, таких как приведение к общему знаменателю, выделение полного квадрата и т. п.

Пример эквивалентных уравнений:
$2x+3=7\text{и}x=2$
Данные уравнения эквивалентны, потому что $x=2$ — это решение для обоих уравнений.

2. Эквивалентные неравенства

Для неравенств эквивалентность более сложная, поскольку преобразования должны учитывать направление неравенства, что может изменяться при некоторых операциях. Например, умножение или деление на отрицательное число изменяет знак неравенства. Эквивалентные неравенства должны приводить к одинаковому множеству решений.

Пример эквивалентных неравенств:

$$x\ge 2\text{и}x+1\ge 3$$

Эти неравенства эквивалентны, потому что их решения совпадают.

3. Основные правила эквивалентности для неравенств

• Если умножаем или делим обе части неравенства на положительное число, знак неравенства не меняется:

  $$a\le b\text{и}2a\le 2b$$

• Если умножаем или делим обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

  $$a\le b\text{и}-a\ge -b$$

• При сложении или вычитании одинакового числа из обеих частей неравенства знак неравенства не изменяется:

  $$a\le b\text{и}a+3\le b+3$$

• Применение функций, сохраняющих порядок (например, монотонных функций), к обеим частям неравенства также сохраняет эквивалентность:

  $$x\ge 0\text{и}\sqrt{x}\ge 0$$

Важность эквивалентности

Эквивалентные уравнения и неравенства важны в решении задач, так как позволяют преобразовывать исходные выражения в более удобные для решения формы, не изменяя множества решений. Это особенно полезно в таких областях, как:

• решение систем уравнений и неравенств,

• упрощение выражений,

• анализ свойств функций и графиков.

Примеры эквивалентных неравенств

1. Пример 1 (линейные неравенства):

   $$2x+3>7\text{и}x>2$$

   Эти неравенства эквивалентны, так как оба выражения дают одно и то же решение $x>2$.

2. Пример 2 (квадратичные неравенства):

   $$x^2-4\ge 0\text{и}(x-2)(x+2)\ge 0$$

   Эти неравенства тоже эквивалентны, так как решение одного из них совпадает с решением другого: $x\le -2$ или $x\ge 2$.

Вывод

Таким образом, уравнения и неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными. Это позволяет менять форму выражений, не меняя их решений, и широко используется в математике для упрощения задач.