как вычитать дроби с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями — это классическая задача в арифметике, и ее можно решить с помощью нескольких шагов. Давайте подробно разберем, как это сделать.

1. Приведение дробей к общему знаменателю

Для того чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нам нужно привести их к общему знаменателю. Это значит, что мы должны найти такой знаменатель, который будет одинаков для обеих дробей. На практике обычно используют наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

Как найти НОК?

НОК двух чисел — это наименьшее число, которое делится и на одно, и на другое.
Для этого можно использовать метод простых множителей. Найдем простые множители для обоих знаменателей и из них составим НОК.

Пример:

Допустим, нам нужно вычесть дроби:

$25−34frac{2}{5} — frac{3}{4}$

Знаменатели — 5 и 4. Нам нужно найти НОК этих чисел.
- Простые множители 5: $5$
- Простые множители 4: $2 \times 2$
НОК(5, 4) — это наименьшее число, которое делится и на 5, и на 4. Это будет 20 (так как $5 \times 4 = 20$ ).
Теперь мы приводим обе дроби к общему знаменателю (20):
- Для дроби $25frac{2}{5}$ мы умножаем числитель и знаменатель на 4:
  $25=2×45×4=820frac{2}{5} = frac{2 times 4}{5 times 4} = frac{8}{20}$
- Для дроби $34frac{3}{4}$ мы умножаем числитель и знаменатель на 5:
  $34=3×54×5=1520frac{3}{4} = frac{3 times 5}{4 times 5} = frac{15}{20}$

Теперь у нас есть дроби с одинаковыми знаменателями:

$820−1520frac{8}{20} — frac{15}{20}$

2. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Когда дроби приведены к общему знаменателю, вычитаем их, оставив знаменатель неизменным:

$820−1520=8−1520=−720frac{8}{20} — frac{15}{20} = frac{8 — 15}{20} = frac{-7}{20}$

Ответ: $−720frac{-7}{20}$

3. Упрощение результата

Если результат можно упростить (например, если числитель и знаменатель имеют общий делитель), то следует это сделать. В нашем примере дробь $−720frac{-7}{20}$ уже не поддается упрощению, так как 7 и 20 не имеют общих делителей.

Пример 2: Более сложные дроби

Возьмем другой пример:

$78−512frac{7}{8} — frac{5}{12}$

Найдем НОК знаменателей 8 и 12:
- Простые множители 8: $2 \times 2 \times 2$
- Простые множители 12: $2 \times 2 \times 3$
НОК(8, 12) = $2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24$
Приведем дроби к общему знаменателю (24):
- Для $78frac{7}{8}$ умножим числитель и знаменатель на 3:
  $78=7×38×3=2124frac{7}{8} = frac{7 times 3}{8 times 3} = frac{21}{24}$
- Для $512frac{5}{12}$ умножим числитель и знаменатель на 2:
  $512=5×212×2=1024frac{5}{12} = frac{5 times 2}{12 times 2} = frac{10}{24}$

Теперь вычитаем:

$2124−1024=21−1024=1124frac{21}{24} — frac{10}{24} = frac{21 — 10}{24} = frac{11}{24}$

Ответ: $1124frac{11}{24}$

4. Что делать, если дроби представляют собой смешанные числа?

Если в задаче есть смешанные числа (например, $2132 frac{1}{3}$ или $5475 frac{4}{7}$ ), нужно:

Перевести смешанные числа в неправильные дроби.
Привести дроби к общему знаменателю.
Выполнить вычитание.
При необходимости вернуть результат в виде смешанного числа.

Пример с смешанными числами:

Вычитаем $314−2253 frac{1}{4} — 2 frac{2}{5}$ :

Переводим смешанные числа в неправильные дроби:
$314=3×4+14=1343 frac{1}{4} = frac{3 times 4 + 1}{4} = frac{13}{4}$
$225=2×5+25=1252 frac{2}{5} = frac{2 times 5 + 2}{5} = frac{12}{5}$
Приводим к общему знаменателю. Для знаменателей 4 и 5 НОК = 20.
$134=13×54×5=6520frac{13}{4} = frac{13 times 5}{4 times 5} = frac{65}{20}$
$125=12×45×4=4820frac{12}{5} = frac{12 times 4}{5 times 4} = frac{48}{20}$
Теперь вычитаем:
$6520−4820=65−4820=1720frac{65}{20} — frac{48}{20} = frac{65 — 48}{20} = frac{17}{20}$

Ответ: $1720frac{17}{20}$

В результате вычитания дробей с разными знаменателями важно придерживаться последовательности шагов: находим НОК, приводим дроби к общему знаменателю, выполняем операцию вычитания и, при необходимости, упрощаем результат.