сколько имеется четырехзначных чисел которые делятся на 45 а две средние цифры у них 97

Чтобы найти, сколько четырехзначных чисел делятся на 45 и имеют две средние цифры 97, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Условие на делимость на 45

Число делится на 45, если оно делится одновременно на 5 и на 9:

• Делимость на 5: Число делится на 5, если его последняя цифра — либо 0, либо 5.

• Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

2. Условия на цифры числа

Четырехзначное число может быть записано в виде $abcd$, где:

• $a$ — первая цифра (от 1 до 9),

• $b$ — вторая цифра (от 0 до 9),

• $c$ — третья цифра (от 0 до 9),

• $d$ — четвертая цифра (от 0 до 9).

У нас есть дополнительное условие: две средние цифры равны 97. То есть $b=9$, $c=7$.

Таким образом, наше число принимает вид:

$$a97d,$$

где $a$ и $d$ — цифры, которые нам нужно определить.

3. Условие на делимость на 5

Для того чтобы число делилось на 5, его последняя цифра $d$ должна быть либо 0, либо 5.

Итак, $d=0$ или $d=5$.

4. Условие на делимость на 9

Теперь нам нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 9. Сумма цифр числа $a97d$ равна:

$$S=a+9+7+d=a+16+d.$$

Нам нужно, чтобы сумма $a+16+d$ делилась на 9. Рассмотрим оба возможных значения для $d$.

Когда $d=0$:

Сумма цифр:

$$S=a+16.$$

Чтобы $a+16$ делилось на 9, должно выполняться условие:

$$a+16\equiv 0(\mathrm{mod}9).$$

Это означает:

$$a\equiv -16\equiv -7\equiv 2(\mathrm{mod}9).$$

Таким образом, $a$ может быть одним из следующих значений: $a=2,11$. Но так как $a$ — цифра, она должна быть в пределах от 1 до 9, поэтому единственным возможным значением является $a=2$.

Когда $d=5$:

Сумма цифр:

$$S=a+16+5=a+21.$$

Чтобы $a+21$ делилось на 9, должно выполняться условие:

$$a+21\equiv 0(\mathrm{mod}9).$$

Это означает:

$$a\equiv -21\equiv -3\equiv 6(\mathrm{mod}9).$$

Таким образом, $a$ может быть одним из следующих значений: $a=6$.

5. Возможные значения для $a$ и $d$

Теперь у нас есть следующие возможные комбинации значений для $a$ и $d$:

• Когда $d=0$, $a=2$,

• Когда $d=5$, $a=6$.

6. Ответ

Итак, существует два четырехзначных числа, которые делятся на 45 и имеют две средние цифры 97:

• $2970$ (при $a=2$, $d=0$),

• $6975$ (при $a=6$, $d=5$).

Ответ: 2 числа.