какие точки называют симметричными относительно данной точки

Симметричные точки относительно данной точки — это пары точек на плоскости (или в пространстве), которые расположены таким образом, что точка, относительно которой происходит симметрия, находится на середине отрезка, соединяющего эти две точки.

Формальное определение

Пусть у нас есть точка $O$ в пространстве (или на плоскости), и две точки $A$ и $B$. Точки $A$ и $B$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AB$. То есть, для координат этих точек выполняется следующее условие:

• Координаты точки $O$ — это среднее арифметическое координат точек $A$ и $B$.

• Если точка $O=(x_O,y_O)$, то для точек $A=(x_A,y_A)$ и $B=(x_B,y_B)$ выполняется условие:

  $$x_O=\frac{x_A+x_B}{2},y_O=\frac{y_A+y_B}{2}.$$

  Это условие можно обобщить и на три координаты, если речь идет о пространстве (3D).

Таким образом, если точка $O$ — середина отрезка $AB$, то точки $A$ и $B$ симметричны относительно $O$.

Геометрическое толкование

Если рассматривать симметрию относительно точки на плоскости, то это можно представить следующим образом:

1. Прямая симметрии: В отличие от симметрии относительно прямой, где каждая точка отражается через прямую, симметрия относительно точки подразумевает, что мы «переворачиваем» фигуру вокруг этой точки.

2. Отражение: Для точки $A$, симметричной относительно точки $O$, можно провести прямую $OA$. Точка $B$ будет располагаться на прямой, продолженной на противоположную сторону точки $O$, на одинаковом расстоянии от неё. То есть, отражение точки относительно точки — это просто перенос точки на такое же расстояние на противоположную сторону от точки $O$.

Примеры:

1. Простой пример на плоскости:
   Пусть $O(0,0)$ — начало координат, и $A(2,3)$ — точка на плоскости. Чтобы найти точку $B$, симметричную точке $A$ относительно начала координат, мы должны сделать следующее:

   • Среднее значение координат будет: $(x_O,y_O)=(0,0)$.

   • Таким образом, координаты точки $B$ будут противоположны координатам точки $A$, то есть $B(-2,-3)$.

   В данном случае точка $A(2,3)$ и точка $B(-2,-3)$ симметричны относительно точки $O(0,0)$.

2. На более сложных примерах:
   Если точка симметрична относительно произвольной точки $O(x_O,y_O)$, то можно вычислить координаты симметричной точки $B$ по той же формуле, где $O$ будет серединой отрезка $AB$. Например, если $O(1,1)$ и $A(4,5)$, то координаты $B$ будут находиться как:

   $$x_B=2x_O-x_A=2(1)-4=-2,$$
   $$y_B=2y_O-y_A=2(1)-5=-3.$$

   То есть точка $B$ будет иметь координаты $(-2,-3)$.

Свойства симметричных точек:

1. Равенство расстояний: Расстояния от точки $O$ до точек $A$ и $B$ одинаковы. Это следует из того, что точка $O$ — середина отрезка $AB$. Формально:

   $$\text{Расстояние от }O\text{ до }A=\text{Расстояние от }O\text{ до }B.$$

2. Перпендикулярность отрезка $AB$ к линии $O$: Отрезок $AB$ всегда будет перпендикулярен линии, соединяющей точку $O$ с центром симметрии, если рассматривать симметрию относительно точки как отражение.

3. Использование в геометрии и математике: Симметричные точки часто используются в различных задачах на симметрию, доказательствах теорем и построениях геометрических фигур. Они могут быть полезны при изучении свойств фигур, их центров масс и т. д.

Симметрия в пространстве

Если рассматривать симметричные точки в трёхмерном пространстве, то концепция остается той же: точка $O$ является серединой отрезка, соединяющего точки $A$ и $B$, но теперь это происходит в трёх измерениях.

Для пространства, где точки $A(x_A,y_A,z_A)$ и $B(x_B,y_B,z_B)$, точка $O(x_O,y_O,z_O)$ будет серединой отрезка, и для симметричных точек выполняются аналогичные формулы:

$$x_O=\frac{x_A+x_B}{2},y_O=\frac{y_A+y_B}{2},z_O=\frac{z_A+z_B}{2}.$$

Заключение

Симметричные точки относительно данной точки — это пары точек, где данная точка является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Симметрия относительно точки полезна для решения задач в геометрии, построения различных фигур и доказательства теорем, а также в практическом применении при работе с отражениями.