Решение квадратных уравнений — это важная тема в 8 классе алгебры. Чтобы разобраться, давай начнём с основ и постепенно пройдём все шаги. Квадратное уравнение — это уравнение вида:
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
где aa, bb и cc — это числовые коэффициенты, причём a≠0a neq 0, иначе это уже не будет квадратное уравнение.
Шаги решения квадратного уравнения:
Приведение уравнения к стандартному виду:
Квадратное уравнение должно быть записано в стандартной форме ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. Если уравнение записано не в таком виде, нужно его привести к этому стандарту.
Например, если дано уравнение 2×2−3x=52x^2 — 3x = 5, сначала перенесём все элементы в одну часть уравнения:
2×2−3x−5=02x^2 — 3x — 5 = 0
Теперь у нас стандартное квадратное уравнение.
Дискриминант (D):
Для того чтобы решить квадратное уравнение, нужно вычислить дискриминант (обозначается DD). Он рассчитывается по формуле:
D=b2−4acD = b^2 — 4ac
где aa, bb и cc — это коэффициенты исходного уравнения ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.
Значение дискриминанта определяет количество решений уравнения:
Если D>0D > 0, то у уравнения два различных корня.
Если D=0D = 0, то у уравнения один корень (дублирующий).
Если D<0D < 0, то решений нет (корней в области действительных чисел нет).
Нахождение корней уравнения:
Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула решения квадратного уравнения:
x=−b±D2ax = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}
где DD — это дискриминант.
Давайте рассмотрим каждый случай:
Если D>0D > 0: У уравнения два корня, которые находятся по формуле:
x1=−b+D2a,x2=−b−D2ax_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a}, quad x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a}
Это два различных действительных корня.
Если D=0D = 0: У уравнения один корень, который можно найти по формуле:
x=−b2ax = frac{-b}{2a}
Это двойной корень (корни совпадают).
Если D<0D < 0: У уравнения нет действительных решений, но могут быть комплексные решения. Тогда корни будут иметь вид:
x1=−b+i∣D∣2a,x2=−b−i∣D∣2ax_1 = frac{-b + isqrt{|D|}}{2a}, quad x_2 = frac{-b — isqrt{|D|}}{2a}
где ii — мнимая единица (i=−1i = sqrt{-1}).
Пример 1 (два различных корня):
Рассмотрим уравнение:
x2−3x−4=0x^2 — 3x — 4 = 0
Здесь a=1a = 1, b=−3b = -3, c=−4c = -4.
Сначала находим дискриминант:
D=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=9+16=25D = (-3)^2 — 4 cdot 1 cdot (-4) = 9 + 16 = 25
Так как D>0D > 0, у нас два корня:
x1=−(−3)+252⋅1=3+52=4x_1 = frac{-(-3) + sqrt{25}}{2 cdot 1} = frac{3 + 5}{2} = 4
x2=−(−3)−252⋅1=3−52=−1x_2 = frac{-(-3) — sqrt{25}}{2 cdot 1} = frac{3 — 5}{2} = -1Ответ: x1=4x_1 = 4, x2=−1x_2 = -1.
Пример 2 (один корень):
Рассмотрим уравнение:
x2−6x+9=0x^2 — 6x + 9 = 0
Здесь a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9.
Находим дискриминант:
D=(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0D = (-6)^2 — 4 cdot 1 cdot 9 = 36 — 36 = 0
Так как D=0D = 0, у нас один корень:
x=−(−6)2⋅1=62=3x = frac{-(-6)}{2 cdot 1} = frac{6}{2} = 3
Ответ: x=3x = 3.
Пример 3 (нет решений):
Рассмотрим уравнение:
x2+4x+5=0x^2 + 4x + 5 = 0
Здесь a=1a = 1, b=4b = 4, c=5c = 5.
Находим дискриминант:
D=42−4⋅1⋅5=16−20=−4D = 4^2 — 4 cdot 1 cdot 5 = 16 — 20 = -4
Так как D<0D < 0, у уравнения нет действительных решений.
Ответ: нет решений в области действительных чисел.
Важные моменты:
Если D>0D > 0, у нас два корня.
Если D=0D = 0, у нас один корень.
Если D<0D < 0, у нас нет решений среди действительных чисел.
Дополнительные методы решения:
Метод выделения полного квадрата. Иногда уравнение можно решить, преобразовав его в квадрат binom (например, x2+6x=7x^2 + 6x = 7).
Метод подбора. Это метод, который используется для более простых уравнений, но его лучше избегать на более сложных задачах.
Надеюсь, что разъяснил все чётко. Если что-то осталось непонятным, можешь спросить!
