Теорема Виета — это важное математическое утверждение, которое связано с корнями квадратных уравнений. Ее основные положения активно используются в алгебре, особенно в решении уравнений второй степени (квадратных уравнений).
Теорема Виета
Для квадратного уравнения вида:
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
где aa, bb, и cc — коэффициенты, а x1x_1 и x2x_2 — корни уравнения, теорема Виета утверждает следующее:
Сумма корней x1+x2x_1 + x_2 равна отношению противоположного знака коэффициента при xx к коэффициенту при x2x^2:
x1+x2=−bax_1 + x_2 = -frac{b}{a}
Произведение корней x1⋅x2x_1 cdot x_2 равно отношению свободного члена к коэффициенту при x2x^2:
x1⋅x2=cax_1 cdot x_2 = frac{c}{a}
Как это работает?
Предположим, у нас есть квадратное уравнение:
2×2−4x+1=02x^2 — 4x + 1 = 0
В данном уравнении:
a=2a = 2
b=−4b = -4
c=1c = 1
Согласно теореме Виета, для этого уравнения сумма корней x1+x2x_1 + x_2 и их произведение x1⋅x2x_1 cdot x_2 можно найти следующим образом:
Сумма корней:
x1+x2=−ba=−−42=2x_1 + x_2 = -frac{b}{a} = -frac{-4}{2} = 2
Произведение корней:
x1⋅x2=ca=12x_1 cdot x_2 = frac{c}{a} = frac{1}{2}
Таким образом, из теоремы Виета мы узнали, что сумма корней x1+x2=2x_1 + x_2 = 2, а их произведение x1⋅x2=12x_1 cdot x_2 = frac{1}{2}.
Теперь, зная эти данные, можно попробовать найти сами корни с помощью метода, например, подбора, или же через дискриминант (если это необходимо).
Как найти корни уравнения, зная сумму и произведение?
Допустим, мы знаем сумму и произведение корней уравнения. В таком случае можно составить систему для нахождения самих корней. Например, если x1+x2=Sx_1 + x_2 = S и x1⋅x2=Px_1 cdot x_2 = P, то корни можно найти, решив квадратное уравнение:
t2−St+P=0t^2 — St + P = 0
где tt — переменная, заменяющая корни.
Пример:
Если сумма корней x1+x2=2x_1 + x_2 = 2, а их произведение x1⋅x2=12x_1 cdot x_2 = frac{1}{2}, то составляем уравнение:
t2−2t+12=0t^2 — 2t + frac{1}{2} = 0
Умножаем все на 2, чтобы избавиться от дроби:
2t2−4t+1=02t^2 — 4t + 1 = 0
Теперь решаем это уравнение через дискриминант. Дискриминант для уравнения at2+bt+c=0at^2 + bt + c = 0 рассчитывается по формуле:
Δ=b2−4acDelta = b^2 — 4ac
Для нашего уравнения:
a=2,b=−4,c=1a = 2, quad b = -4, quad c = 1
Δ=(−4)2−4(2)(1)=16−8=8Delta = (-4)^2 — 4(2)(1) = 16 — 8 = 8
Теперь находим корни с помощью формулы:
t=−b±Δ2at = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}
Подставляем значения:
t=4±84=4±224=1±22t = frac{4 pm sqrt{8}}{4} = frac{4 pm 2sqrt{2}}{4} = 1 pm frac{sqrt{2}}{2}
Таким образом, корни уравнения:
x1=1+22,x2=1−22x_1 = 1 + frac{sqrt{2}}{2}, quad x_2 = 1 — frac{sqrt{2}}{2}
Применение теоремы Виета
Теорема Виета полезна не только для нахождения корней уравнений, но и для решения различных задач, например, при решении системы уравнений, поиске неизвестных в многочленах или в задачах на симметричные выражения.
Важные моменты
Теорема Виета работает для любого квадратного уравнения, даже если его корни — комплексные числа.
Если у уравнения нет действительных корней, то теорема все равно дает информацию о их сумме и произведении.
Теорема Виета помогает понять структуру корней уравнения, что полезно при анализе его поведения.
Задачи с теоремой Виета
Задача на сумму и произведение корней: Найдите корни уравнения, зная их сумму и произведение.
Проблемы с системами уравнений: Использование теоремы для упрощения и решения систем с несколькими квадратными уравнениями.
Надеюсь, это объяснение помогло! Если что-то непонятно или хочешь больше примеров, дай знать!
