как разложить квадратный трехчлен на множители

Чтобы разложить квадратный трехчлен (или квадратное выражение) на множители, нужно следовать определенному алгоритму. Рассмотрим это на примере квадратичного трехчлена общего вида:

$$a{x}^2+bx+c$$

где $a$, $b$, $c$ — это числа, причем $a\ne 0$.

Шаг 1: Признак существования факторизации

Для начала важно понять, что не всегда можно разложить квадратный трехчлен на множители с целыми числами. Но если дискриминант ($\Delta$) этого уравнения больше или равен нулю, то разложение возможно. Дискриминант для квадратного трехчлена выглядит так:

$$\Delta =b^2-4ac$$

Если дискриминант больше или равен нулю, то квадратный трехчлен можно разложить на множители.

Шаг 2: Если коэффициент $a=1$

Если коэффициент $a=1$, то есть квадратный трехчлен имеет вид:

$$x^2+bx+c$$

то разложение будет проще. Нужно найти такие два числа, произведение которых равно $c$, а сумма — $b$.

1. Пример:

   Рассмотрим пример $x^2+5x+6$.

   • Мы ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6.

   • Это числа 2 и 3, так как $2+3=5$ и $2\times 3=6$.

   Тогда разложение будет следующим:

   $$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$

2. Пример 2:

   Рассмотрим $x^2-7x+10$.

   • Мы ищем два числа, которые в сумме дают -7, а в произведении — 10.

   • Это числа -2 и -5, так как $-2+(-5)=-7$ и $-2\times -5=10$.

   Разложение будет таким:

   $$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$$

Шаг 3: Если коэффициент $a\ne 1$

Если коэффициент $a\ne 1$, то разложение немного сложнее, и нужно использовать метод выделения общего множителя. Рассмотрим квадратичный трехчлен $a{x}^2+bx+c$, где $a\ne 1$.

1. Пример:

   Рассмотрим выражение $2x^2+7x+3$.

   • Нужно найти такие два числа, произведение которых равно $a\times c=2\times 3=6$, а сумма — $b=7$.

   • Эти числа — 6 и 1, так как $6+1=7$ и $6\times 1=6$.

   Теперь разлагаем средний член на два слагаемых:

   $$2x^2+7x+3=2x^2+6x+x+3$$

   Дальше выделяем общий множитель в каждой из групп:

   $$=2x(x+3)+1(x+3)$$

   Теперь можно вынести общий множитель $(x+3)$:

   $$=(2x+1)(x+3)$$

   Итак, разложение на множители:

   $$2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$$

2. Пример 2:

   Рассмотрим $3x^2+11x+6$.

   • Мы ищем два числа, произведение которых равно $3\times 6=18$, а сумма — $11$.

   • Это числа 9 и 2, так как $9+2=11$ и $9\times 2=18$.

   Разлагаем средний член:

   $$3x^2+11x+6=3x^2+9x+2x+6$$

   Выделяем общий множитель:

   $$=3x(x+3)+2(x+3)$$

   Вынесем общий множитель $(x+3)$:

   $$=(3x+2)(x+3)$$

   Разложение на множители:

   $$3x^2+11x+6=(3x+2)(x+3)$$

Шаг 4: Проверка через дискриминант

Если коэффициент $a\ne 1$, но вы не уверены, можно ли разложить данный трехчлен, можно использовать дискриминант для квадратного уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Если дискриминант $\Delta =b^2-4ac$ больше или равен нулю, то корни существуют и квадратное уравнение можно разложить. Если корни — целые числа, то разложение будет состоять из множителей, содержащих эти корни.

Пример:

Рассмотрим $6x^2+5x-6$. Для нахождения корней применим формулу:

$$\Delta =5^2-4\times 6\times (-6)=25+144=169$$

Корни:

$$x=\frac{-5\pm \sqrt{169}}{2\times 6}=\frac{-5\pm 13}{12}$$

Получаем два корня:

$$x_1=\frac{-5+13}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3},x_2=\frac{-5-13}{12}=\frac{-18}{12}=-\frac{3}{2}$$

Теперь разлагаем квадратное уравнение через корни:

$$6x^2+5x-6=6\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Это разложение, но его удобнее будет записать через множители с целыми числами, умножив оба множителя на 6:

$$=6\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Шаг 5: Использование формулы сокращенного умножения

Если квадратный трехчлен имеет вид, например, $a(x+p{)}^2$ или $a(x-p{)}^2$, то его разложение будет прямым применением формул сокращенного умножения, например:

$$x^2+6x+9=(x+3{)}^2$$

Заключение

Разложение квадратного трехчлена — это в первую очередь поиск чисел, которые удовлетворяют условиям для произведения и суммы. Важно также учитывать, что не всегда разложение возможно в целых числах, и в таких случаях придется использовать другие методы, например, нахождение корней с помощью дискриминанта.