как решать дробно рациональные уравнения

Решение дробно-рациональных уравнений требует внимательности и аккуратности, так как они включают выражения с дробями, которые могут содержать переменные как в числителе, так и в знаменателе. Рассмотрим шаги решения таких уравнений на примере.

1. Определение дробно-рационального уравнения

Дробно-рациональным уравнением называют уравнение, в котором присутствуют дроби с переменной в числителе или знаменателе, например:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=0$$

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены от переменной $x$, и $Q(x)\ne 0$.

Пример дробно-рационального уравнения:

$$\frac{x}{x^2-4}=1$$

2. Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Прежде чем начать решать уравнение, важно определить область допустимых значений (ОДЗ) для переменной. ОДЗ — это множество значений переменной, при которых дробь имеет смысл (т.е. знаменатель не равен нулю).

Шаги для нахождения ОДЗ:

• Для каждого знаменателя нужно найти его корни, так как переменная не должна принимать такие значения, при которых знаменатель равен нулю.

• ОДЗ — это все такие значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

Пример для уравнения:

$$\frac{x}{x^2-4}=1$$

Знаменатель $x^2-4$ должен быть отличен от нуля, то есть:

$$x^2-4\ne 0$$

Решаем это:

$$x^2\ne 4\Rightarrow x\ne 2,x\ne -2$$

Таким образом, ОДЗ: $x\ne 2$ и $x\ne -2$.

3. Преобразование уравнения

Теперь, когда мы знаем ОДЗ, можно переходить к решению самого уравнения.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Если уравнение содержит несколько дробей, нужно привести их к общему знаменателю. Если дробь одна, можно переходить к следующему шагу.

Шаг 2: Умножение обеих частей уравнения на наименьший общий знаменатель (НОД)
Для того чтобы избавиться от дробей, можно умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (НОД) всех дробей в уравнении.

Возьмем пример уравнения:

$$\frac{x}{x^2-4}=1$$

Здесь дробь имеет знаменатель $x^2-4$. Умножим обе части уравнения на $x^2-4$, при условии, что $x\ne 2$ и $x\ne -2$ (что мы выяснили ранее):

$$(x^2-4)\cdot \frac{x}{x^2-4}=(x^2-4)\cdot 1$$

Слева дробь сокращается, и получается:

$$x=x^2-4$$

4. Решение полученного уравнения

Теперь решаем полученное уравнение:

$$x=x^2-4$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$0=x^2-x-4$$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

Дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17$$

Корни квадратного уравнения:

$$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{17}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

5. Проверка найденных корней на принадлежность ОДЗ

Мы нашли два корня уравнения, но не забываем проверить их на ОДЗ. В данном случае ОДЗ ограничивает $x\ne 2$ и $x\ne -2$. Корни, полученные в нашем примере, не равны этим значениям, значит, они допустимы.

6. Ответ

Ответ: $x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

Основные моменты при решении дробно-рациональных уравнений:

1. Нахождение ОДЗ — важный шаг, так как мы должны исключить такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль.

2. Приведение к общему знаменателю — важно при работе с несколькими дробями.

3. Умножение на НОД — это помогает избавиться от дробей и упростить уравнение.

4. Решение уравнения — после упрощения уравнение решается стандартными методами, в том числе для квадратных уравнений.

5. Проверка корней на ОДЗ — это последний шаг, который не стоит забывать, потому что решение может быть исключено из-за нарушения ОДЗ.

Такой подход позволяет решать дробно-рациональные уравнения с любой степенью сложности.