как называются прямые на плоскости не имеющие общих точек

Прямые на плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными.

Что такое параллельные прямые?

Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются ни в какой точке, независимо от того, насколько они продолжены в обоих направлениях. Важно, что параллельность прямых подразумевает, что они не пересекаются, но при этом сохраняют одинаковое направление.

Математическое описание параллельности:

1. Геометрическое определение:
   Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются и находятся в одной и той же плоскости. Важно заметить, что параллельность требует нахождения прямых в единой плоскости. Это означает, что если одна из прямых будет направлена в пространстве по другому углу, то пересечения могут возникнуть, даже если прямые изначально казались параллельными на плоскости.

2. Алгебраическое описание (с использованием уравнений прямых):
   Прямые на плоскости обычно описываются линейными уравнениями вида $y=mx+b$, где $m$ — это угловой коэффициент, а $b$ — пересечение с осью $y$.

   Два уравнения прямых будут параллельны, если угловые коэффициенты этих прямых одинаковы. То есть, если у нас есть две прямые, заданные уравнениями:

   $$y=m_{1}x+b_1$$

   и

   $$y=m_{2}x+b_2,$$

   то для параллельности должно выполняться условие $m_1=m_2$.

   Однако, несмотря на одинаковый угловой коэффициент, прямые будут параллельны, даже если их свободные члены $b_1$ и $b_2$ различны. Это означает, что параллельные прямые могут располагаться на разных расстояниях друг от друга, но они никогда не пересекутся.

3. Пример:
   Рассмотрим две прямые с уравнениями:

   $$y=2x+3$$

   и

   $$y=2x-5.$$

   У обеих прямых одинаковые угловые коэффициенты ($m=2$), поэтому они параллельны. При этом, несмотря на то, что их пересечения с осью $y$ различны (на $y=3$ и $y=-5$ соответственно), эти прямые никогда не пересекутся, так как их наклон одинаков.

Теоретический контекст:

В евклидовой геометрии параллельные прямые обладают следующими свойствами:

• Аксиома параллельных прямых (аксиома Эйлера): В евклидовой геометрии существует лишь одна прямая, которая проходит через данную точку и параллельна данной прямой. Это означает, что для любой точки на плоскости и любой прямой существует только одна прямая, параллельная исходной.

• Теорема о параллельных прямых: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу. Это утверждение также имеет важное значение для построений и доказательств в геометрии.

• Прямая и плоскость: В случае, если прямые лежат в пространстве (например, трехмерном), то для того чтобы две прямые были параллельными, они должны находиться в одной и той же плоскости. Если они лежат в разных плоскостях, то их можно назвать скошенными прямыми, и они будут пересекаться в какой-то точке.

Параллельные прямые в других геометриях:

1. Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия): В гиперболической геометрии параллельные прямые не существуют в привычном смысле. Здесь прямые, которые в евклидовой геометрии были бы параллельными, могут пересекаться в других точках плоскости гиперболической геометрии, но это происходит только в «мнимых» точках на границе плоскости.

2. Сферическая геометрия: В сферической геометрии понятие параллельных прямых не существует, потому что все прямые на сфере (это большие окружности) в конечном итоге пересекаются. Например, два меридиана на сфере (Земле) всегда пересекаются в полюсах, несмотря на то что на карте они могут выглядеть как прямые линии.

Параллельные прямые в реальной жизни:

Параллельные прямые можно наблюдать в различных контекстах реальной жизни. Примеры:

• Железнодорожные пути: Рельсы, несмотря на то что продолжаются на больших расстояниях, не пересекаются и сохраняют постоянное расстояние между собой — это пример параллельных прямых в реальности.

• Дороги и линии на асфальте: Линии, обозначающие полосы на дороге, часто представляют собой параллельные прямые, которые не пересекаются.

Параллельность — это один из ключевых концептов в геометрии, и его понимание помогает строить множество математических и физических моделей, описывающих мир вокруг нас.