Чтобы найти определитель матрицы 3×3, нужно воспользоваться формулой, которая основывается на разложении по строкам или столбцам. Рассмотрим шаги на примере матрицы размером 3×3:
Предположим, у нас есть матрица AA вида:
A=(abcdefghi)A = begin{pmatrix}
a & b & c \
d & e & f \
g & h & i
end{pmatrix}
Определитель этой матрицы обозначается как det(A)det(A) или ∣A∣|A|, и его вычисление по формуле разложения по первой строке выглядит так:
det(A)=a⋅det(efhi)−b⋅det(dfgi)+c⋅det(degh)det(A) = a cdot detbegin{pmatrix} e & f \ h & i end{pmatrix} — b cdot detbegin{pmatrix} d & f \ g & i end{pmatrix} + c cdot detbegin{pmatrix} d & e \ g & h end{pmatrix}
Шаги вычисления
Определение миноров:
Для каждого элемента строки или столбца, по которому делается разложение, нужно вычислить минор. Минор — это определитель матрицы, полученной из исходной матрицы путём исключения строки и столбца, в которых расположен рассматриваемый элемент.Минор для элемента aa: это определитель матрицы, оставшейся после исключения первой строки и первого столбца:
det(efhi)=ei−fhdetbegin{pmatrix} e & f \ h & i end{pmatrix} = ei — fh
Минор для элемента bb: это определитель матрицы, оставшейся после исключения первой строки и второго столбца:
det(dfgi)=di−fgdetbegin{pmatrix} d & f \ g & i end{pmatrix} = di — fg
Минор для элемента cc: это определитель матрицы, оставшейся после исключения первой строки и третьего столбца:
det(degh)=dh−egdetbegin{pmatrix} d & e \ g & h end{pmatrix} = dh — eg
Вычисление определителя:
Теперь, зная все миноры, подставим их в исходную формулу для определителя:det(A)=a⋅(ei−fh)−b⋅(di−fg)+c⋅(dh−eg)det(A) = a cdot (ei — fh) — b cdot (di — fg) + c cdot (dh — eg)
Это и есть полный развернутый расчет определителя матрицы 3×3.
Пример
Возьмем матрицу:
A=(123456789)A = begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
end{pmatrix}
Вычисление миноров:
Минор для a=1a = 1:
det(5689)=5⋅9−6⋅8=45−48=−3detbegin{pmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 end{pmatrix} = 5 cdot 9 — 6 cdot 8 = 45 — 48 = -3
Минор для b=2b = 2:
det(4679)=4⋅9−6⋅7=36−42=−6detbegin{pmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 end{pmatrix} = 4 cdot 9 — 6 cdot 7 = 36 — 42 = -6
Минор для c=3c = 3:
det(4578)=4⋅8−5⋅7=32−35=−3detbegin{pmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 end{pmatrix} = 4 cdot 8 — 5 cdot 7 = 32 — 35 = -3
Подставляем в формулу:
det(A)=1⋅(−3)−2⋅(−6)+3⋅(−3)det(A) = 1 cdot (-3) — 2 cdot (-6) + 3 cdot (-3)
det(A)=−3+12−9=0det(A) = -3 + 12 — 9 = 0
Таким образом, определитель матрицы AA равен 00.
Заключение
Определитель матрицы 3×3 можно вычислить с помощью разложения по любой строке или столбцу, но чаще всего для упрощения берут первую строку. Важно помнить, что при вычислении миноров нужно всегда исключать строку и столбец, в которых находится рассматриваемый элемент.
Если есть дополнительные вопросы или примеры для объяснения — смело спрашивай!
