как найти радиус окружности описанной около треугольника

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника, нужно использовать специальную формулу, которая зависит от длины сторон треугольника и его площади.

1. Формула радиуса описанной окружности

Радиус $R$ описанной окружности для произвольного треугольника можно найти по следующей формуле:

$$R=\frac{abc}{4S}$$

где:

• $a$, $b$, и $c$ — это длины сторон треугольника,

• $S$ — площадь треугольника.

2. Вывод формулы

Для того чтобы понять, откуда эта формула берется, давай рассмотрим ее основные элементы:

1. Площадь треугольника ($S$) можно вычислить разными способами, например, через полупериметр и формулу Герона:

   $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

   где $p$ — полупериметр треугольника:

   $$p=\frac{a+b+c}{2}$$

2. Радиус описанной окружности можно также выразить через угол $\alpha$ между двумя сторонами треугольника и их длины, используя формулу, связывающую радиус описанной окружности с углами и сторонами треугольника. Однако, самое удобное для нас представление — это использование площади, как в вышеуказанной формуле.

3. Площадь треугольника

Если площадь $S$ известна, например, через стандартные геометрические методы или можно найти с помощью координат вершин (если треугольник задан в координатной плоскости), то достаточно подставить значения в формулу $R=\frac{abc}{4S}$.

Пример 1: Треугольник с известными длинами сторон

Допустим, у нас есть треугольник со сторонами $a=7$, $b=9$, и $c=12$. Чтобы найти радиус окружности, сначала вычислим его площадь.

1. Найдем полупериметр $p$:

$$p=\frac{7+9+12}{2}=14$$

2. Теперь найдем площадь по формуле Герона:

$$S=\sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)}=\sqrt{14\times 7\times 5\times 2}=\sqrt{980}\approx 31.3$$

3. Подставим значения в формулу для радиуса:

$$R=\frac{7\times 9\times 12}{4\times 31.3}=\frac{756}{125.2}\approx 6.04$$

Итак, радиус окружности, описанной около этого треугольника, примерно равен 6.04.

Пример 2: Треугольник с координатами вершин

Если треугольник задан в координатах, например, $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,3)$, то площадь можно вычислить через формулу площади треугольника по координатам вершин:

$$S=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$$

Подставляем координаты $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,3)$:

$$S=\frac{1}{2}\left|0(0-3)+4(3-0)+0(0-0)\right|=\frac{1}{2}\left|0+12+0\right|=\frac{1}{2}\times 12=6$$

Теперь, вычислим длины сторон треугольника:

• $AB=4$,

• $AC=3$,

• $BC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

Теперь можем найти радиус:

$$R=\frac{4\times 3\times 5}{4\times 6}=\frac{60}{24}=2.5$$

Радиус описанной окружности этого треугольника — 2.5.

4. Заключение

Таким образом, чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника, нужно знать его стороны и площадь. Важно помнить, что существует несколько способов вычисления площади, в том числе через полупериметр (формула Герона) или через координаты вершин.

Если тебе нужно больше примеров или помощь с расчетами, дай знать!