как найти угол между векторами

Чтобы найти угол между двумя векторами, нужно использовать формулу, основанную на скалярном произведении (или внутреннем произведении) векторов. Вот подробный и пошаговый процесс:

1. Формула для угла между векторами

Угол $\theta$ между двумя векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ можно найти с помощью следующей формулы:

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$$

где:

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ — скалярное произведение (или внутреннее произведение) векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$,

• $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ — длины (модули) векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$,

• $\theta$ — угол между векторами.

Чтобы найти угол, нужно использовать арккосинус (или инверсию косинуса):

$$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right)$$

2. Пояснение шагов

Шаг 1: Находим скалярное произведение

Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ и $\mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ для двумерного или трёхмерного пространства определяется как:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

Для двухмерного пространства (если векторы имеют вид $\mathbf{a}=(a_1,a_2)$ и $\mathbf{b}=(b_1,b_2)$) скалярное произведение будет:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$$

А для трёхмерного пространства (если векторы имеют вид $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ и $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$):

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

Шаг 2: Находим длину каждого вектора

Длина (или модуль) вектора $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ вычисляется по формуле:

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$$

Точно так же можно найти длину вектора $\mathbf{b}$:

$$|\mathbf{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2}$$

Для двумерных векторов (например, $\mathbf{a}=(a_1,a_2)$) длина будет:

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$

Для трёхмерных векторов (например, $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$):

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

Шаг 3: Находим угол

После того как мы нашли скалярное произведение и длины векторов, подставляем эти значения в формулу для косинуса угла:

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$$

Затем, чтобы найти угол $\theta$, вычисляем арккосинус:

$$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right)$$

3. Пример

Предположим, у нас есть два вектора $\mathbf{a}=(2,3)$ и $\mathbf{b}=(1,4)$.

1. Сначала находим скалярное произведение:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2\cdot 1+3\cdot 4=2+12=14$$

2. Затем находим длины векторов:

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$
$$|\mathbf{b}|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$$

3. Теперь находим косинус угла:

$$\cos \theta =\frac{14}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}}=\frac{14}{\sqrt{221}}\approx \frac{14}{14.87}\approx 0.941$$

4. Наконец, находим угол $\theta$:

$$\theta ={\cos }^{-1}(0.941)\approx 19.19^{\circ }$$

Итак, угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ составляет примерно $19.19^{\circ }$.

4. Заключение

Таким образом, чтобы найти угол между двумя векторами, нужно:

• Рассчитать их скалярное произведение,

• Найти длины каждого из векторов,

• Подставить эти значения в формулу для косинуса угла,

• Использовать арккосинус, чтобы найти сам угол.

Этот метод работает для любых векторов в $n$-мерном пространстве, но наиболее часто используется для двумерных и трёхмерных векторов.