как разложить вектор по векторам

Чтобы разложить вектор по векторам, нужно понять, как представить один вектор как линейную комбинацию других. Разложение вектора $\mathbf{v}$ по векторам ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ означает нахождение таких коэффициентов $c_1,c_2,\dots ,c_n$, что:

$$\mathbf{v}=c_1{\mathbf{a}}_1+c_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$$

Для того чтобы разложить вектор, важно понимать несколько ключевых аспектов: линейную зависимость, линейную независимость и разложение по базису.

1. Линейная зависимость и независимость

Векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ могут быть как линейно зависимыми, так и линейно независимыми. Векторы линейно независимы, если ни один из них не может быть выражен как линейная комбинация остальных. Это важно, потому что если векторы линейно зависимы, то некоторые из них не добавляют нового направления в пространстве, и разложение будет невозможным или будет требовать меньшего числа коэффициентов.

2. Разложение вектора по базису

Если векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ образуют базис пространства ${\mathbb{R}}^n$, то любое $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$ можно разложить по этим векторам. Базисное разложение вектора – это классический случай, когда векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ являются линейно независимыми.

3. Как найти коэффициенты $c_1,c_2,\dots ,c_n$?

Если векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ линейно независимы и составляют базис, то разложить вектор $\mathbf{v}$ по ним можно с помощью системы линейных уравнений. Рассмотрим следующее:

$$\mathbf{v}=c_1{\mathbf{a}}_1+c_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$$

Предположим, что $\mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$, а векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ имеют координаты ${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}=(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in})$.

Тогда у нас есть система уравнений:

(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮an1an2…ann)(c1c2⋮cn)=(v1v2⋮vn)begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & dots & a_{nn}
end{pmatrix}
begin{pmatrix}
c_1 \
c_2 \
vdots \
c_n
end{pmatrix}
=
begin{pmatrix}
v_1 \
v_2 \
vdots \
v_n
end{pmatrix}​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​……⋱…​a1n​a2n​⋮ann​​​​c1​c2​⋮cn​​​=​v1​v2​⋮vn​​​

Эта система линейных уравнений может быть решена с помощью различных методов: метод Гаусса, обратная матрица (если матрица из $a_{ij}$ невырождена), метод Крамера, и так далее.

4. Условия существования разложения

Для того чтобы разложить вектор $\mathbf{v}$ по векторам ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$, векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ должны быть линейно независимыми. Если они линейно зависимы, то вам нужно будет работать с подпространством, которое они образуют, и, возможно, разложить $\mathbf{v}$ по меньшему числу векторов.

5. Пример

Рассмотрим пример в 3D пространстве.

Пусть $\mathbf{v}=(3,2,1)$, и вам нужно разложить этот вектор по векторам ${\mathbf{a}}_1=(1,0,0)$, ${\mathbf{a}}_2=(0,1,0)$, и ${\mathbf{a}}_3=(0,0,1)$.

Задача сводится к нахождению таких коэффициентов $c_1,c_2,c_3$, что:

$$(3,2,1)=c_1(1,0,0)+c_2(0,1,0)+c_3(0,0,1)$$

Это можно записать как систему уравнений:

$$c_1=3,c_2=2,c_3=1$$

Значит, разложение будет:

$$\mathbf{v}=3{\mathbf{a}}_1+2{\mathbf{a}}_2+1{\mathbf{a}}_3$$

6. Использование ортогональных базисов

Если векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ образуют ортогональный (или ортонормированный) базис, то вычисление коэффициентов разложения становится ещё проще. В этом случае коэффициенты $c_i$ можно найти с помощью скалярного произведения:

$$c_i=\frac{\mathbf{v}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}}$$

Для ортонормированных векторов (где ${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}=1$) эта формула упрощается до:

$$c_i=\mathbf{v}\cdot {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$$

7. Разложение вектора в пространствах с другой размерностью

Если пространство имеет размерность больше 3 (например, ${\mathbb{R}}^4$ или ${\mathbb{R}}^n$), процесс разложения остаётся тем же, только количество уравнений будет больше, и решать систему можно с помощью методов линейной алгебры.

Итог

Разложить вектор по векторам — это процесс нахождения коэффициентов для линейной комбинации этих векторов, чтобы получить исходный вектор. Важно, чтобы векторы были линейно независимы и образовывали базис. Для вычисления коэффициентов используется решение системы линейных уравнений или же использование скалярных произведений в случае ортогональных базисов.