как найти угол между плоскостями

Чтобы найти угол между двумя плоскостями в пространстве, нужно использовать математические методы, основанные на векторах нормалей к этим плоскостям. Давай подробно разберем все шаги.

1. Уравнение плоскости

Плоскость в трёхмерном пространстве может быть задана уравнением вида:

$$Ax+By+Cz+D=0$$

где $A$, $B$, $C$ — это коэффициенты, которые составляют нормаль к плоскости, то есть вектор $\mathbf{n}=(A,B,C)$ перпендикулярен данной плоскости.

2. Нормали к плоскостям

Для того чтобы найти угол между плоскостями, нужно определить их нормали.

Пусть у нас есть две плоскости:

1. Плоскость с уравнением $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$, и нормаль к ней ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$.

2. Плоскость с уравнением $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$, и нормаль к ней ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$.

3. Формула для угла между плоскостями

Угол между двумя плоскостями можно вычислить как угол между их нормалями. Этот угол $\theta$ определяется с помощью скалярного произведения нормалей:

$$\cos \theta =\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$$

где:

• ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2$ — скалярное произведение векторов ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$,

• $|{\mathbf{n}}_1|$ и $|{\mathbf{n}}_2|$ — длины (модули) векторов ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$.

4. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$ и ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$ рассчитывается по формуле:

$${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2$$

5. Длины векторов

Длина вектора $\mathbf{n}=(A,B,C)$ вычисляется по формуле:

$$|\mathbf{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$$

Таким образом, угловой коэффициент будет:

$$\cos \theta =\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

6. Угол между плоскостями

Теперь, чтобы найти сам угол $\theta$, используем арккосинус:

$$\theta =\arccos \left(\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\right)$$

7. Пример

Допустим, у нас есть две плоскости с уравнениями:

1. $2x+3y-z+4=0$ (нормаль ${\mathbf{n}}_1=(2,3,-1)$),

2. $x-2y+3z-1=0$ (нормаль ${\mathbf{n}}_2=(1,-2,3)$).

Вычислим угол между этими плоскостями.

1. Скалярное произведение нормалей:

$${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=2\times 1+3\times (-2)+(-1)\times 3=2-6-3=-7$$

2. Длины нормалей:

$$|{\mathbf{n}}_1|=\sqrt{2^2+3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$$
$$|{\mathbf{n}}_2|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$$

3. Косинус угла:

$$\cos \theta =\frac{-7}{\sqrt{14}\times \sqrt{14}}=\frac{-7}{14}=-\frac{1}{2}$$

4. Угол между плоскостями:

$$\theta =\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=120^{\circ }$$

8. Примечания

• Угол между плоскостями всегда можно выразить как угол в диапазоне от $0^{\circ }$ до $90^{\circ }$. Если $\cos \theta$ отрицателен, это значит, что угол между нормалями больше $90^{\circ }$, но угол между самими плоскостями всё равно будет $180^{\circ }-\theta$, так как плоскости симметричны относительно их нормалей.

Надеюсь, объяснение оказалось понятным! Если есть какие-то моменты, которые нужно разъяснить дополнительно, не стесняйся спрашивать!